В трапеции ABCD боковая сторона AB видна из середины M стороны CD под прямым углом. Найдите длину BM, если AD=13, BC=11, ∠A=60∘.
Тут может вызвать недоумение фраза "боковая сторона AB видна из середины M стороны CD под прямым углом". Но мы сейчас это безобразие начертим и все встанет на свои места.
Это просто означает, что ВМА прямой угол.
Соответственно, если мы проведем среднюю линию МN, то это будет медиана из прямого угла, которая равна половине гипотенузы, таким образом мы получаем равнобедренный треугольник BNM, но в нем угол 60, значит и третья сторона той же длинны, а длина эта равна средней линии, а это полусумма оснований.
Ответ 12
Биссектриса угла A трапеции ABCD делит боковую сторону CD пополам. Найдите длину другой боковой стороны трапеции, если длины оснований трапеции равны 15 и 8.
Удлиняем медиану АМ в 2 раза и получаем параллелограмм АСND, у которого равны противоположные стороны AD=CN.
Углы NAD и ANC равны как накрестлежащие. Выходит, что АВN равнобедренный. BN вычисляется легко - это 8+15, но и АВ столько же.
Ответ 23
На медиане BM треугольника ABC отметили точки K и L так, что AK=BC, а ∠BLC=90∘. Найдите LM:BK.
Тут главное все правильно изобразить. Наносим на треугольник АВС все, что нам дано, и замечаем, что медиану ВМ можно продлить и построить параллелограмм, в котором СВ=АВ`. И выходит, что КАВ` равнобедренный.
Значит высота АL` будет и медианой.
Внимательно посмотрим на CLM и AML`. Они прямоугольные, гипотенузы равны, вертикальные углы равны, значит и оставшиеся углы тоже равны, а значит и треугольники равны.
Раз AL` медиана, то L`B`=L`M(а он равен LM)+LM+KL= 2LM+KL
BM=MB`
BK+KL+LM=L`M+L`B`=LM+2LM+KL
Сокращаем одинаковые слагаемые
BK=2LM
Ответ 0.5