Фурье однажды заметил: математика помогает сравнивать самые разные явления и обнаруживать между ними скрытые сходства. Один из лучших примеров — связь между геометрией треугольников и термодинамикой.
Сначала тригонометрия изучалась исключительно в контексте прямоугольных треугольников: синус, косинус и тангенс связывали углы с отношениями сторон. Но со временем математики начали определять эти функции не только для острых углов, а для любых углов — и тогда треугольники отошли на второй план. В игру вступил круг, и тригонометрические функции стали круговыми. Треугольник остался, но стал частью окружности.
Это расширение дало новое понимание: теперь синусы и косинусы — полноценные функции на всей числовой прямой, и к ним начали применять те же вопросы, что и к другим функциям: как быстро они изменяются? Как изменяется скорость их изменения?
И тут обнаружилось нечто поразительное. Производная синуса — это косинус. А производная косинуса — почти синус, только с минусом. Более того, если взять вторую производную, то синус и косинус возвращаются сами к себе (с точностью до знака). Иначе говоря, они — "собственные функции" второй производной. Это свойство делает их особенно удобными для работы с уравнениями, в которых фигурируют вторые производные.
Именно такое уравнение возникает в термодинамике, когда мы описываем, как температура распределяется по телу с течением времени. Это — уравнение теплопроводности. Оно связывает, грубо говоря, как быстро меняется температура по времени с тем, как она распределена в пространстве. И если начальное распределение температуры выглядит как синусоида — задача решается просто. Но на практике такое почти не встречается.
Фурье пошёл дальше. Он понял: если даже начальная температура не синусоида, её всё равно можно разложить в сумму синусов и косинусов. А значит, можно решать уравнение для каждой синусоиды отдельно и потом сложить результат. Так родилась теория ряда Фурье — идея, что почти любую функцию можно выразить через бесконечную сумму синусов и косинусов.
Конечно, не любую — но гораздо больше функций, чем тогда думали. Исследование того, какие функции можно разложить в ряд Фурье, стало одним из главных направлений математики XIX века.
И вот что интересно: выученные в школе тригонометрические тождества могут показаться абстрактной гимнастикой. Но они оживают, когда вы решаете реальные задачи — например, уравнение теплопроводности. Именно там впервые начинаешь использовать их настолько часто, что они закрепляются в памяти. Так у многих инженеров и математиков происходило первое настоящее "узнавание" тригонометрии — не через треугольники или окружности, а через дифференциальные уравнения и тепло.
