В треугольнике ABC провели медиану BM. Оказалось, что сумма углов A и C равна углу ABM. Найдите отношение BC:BM.
Продлим ВМ в 2 раза и получим параллелограмм АВСД.
Воспользуемся равенством углов при пересечении параллельных прямых ВС и АД секущей АС и выясним, что в треугольнике АВД углы при основании равны. Значит АД=ВД=ВС.
ВМ в свою очередь это половина ВД
Ответ 2
В треугольнике ABC медиана BM в два раза меньше стороны AB и образует с ней угол 40∘. Найдите величину угла ABC.
Заметим, что АВ в 2 раза больше чем ВМ, значит ММ1 будет медианой, которую можно достроить до диагонали параллелограмма АМВД.
Треугольник ВММ1 равнобедренный, угол при вершине 40, значит при основании по 70. Отлично. Что же дальше?
Замечаем, что ДВ параллельно АС, значит угол ДВМ равен ВМС, а значит и равны треугольники ДВМ и ВМС по первому признаку.
Значит угол В соответствует углу М и равен 70.
Ответ 110
В треугольнике ABC высота AH пересекает медиану BM в точке K. Найдите угол между высотой и медианой, если AK=BC.
В качестве ответа введите величину острого угла между прямыми AH и BM.
Достраиваем медиану ВК до диагонали параллелограмма АВСД. ВС=АД это из свойств параллелограмма, но ВС=АК это по условию.
Выходит, что АК=АД и мы имеем дело с равнобедренным треугольником, у которого равны углы при основании. Но у нас так же равны вертикальные углы и угля между стороной и диагональю.
Выходит, треугольник ВКН равнобедренный, но при этом прямоугольный.
Ответ 45