На диагонали AC квадрата ABCD выбрана точка E так, что AE=CE+DE. Найдите угол CDE.
Беззастенчиво пользуемся фактом, что АЕ=СЕ+ДЕ и творим равнобедренный треугольник ЕДД`. Теперь внимательно смотрим на треугольники АД`Д и ЕСД. Они равны, потому что АД` из равенства равно ЕС, АД и СД это стороны квадрата, ну и углы А и С просто по 45, потому что диагональ в квадрате.
Значит равны углы АД`Д и СЕД, ну и соответствующие им. Выходит, треугольник Д`ЕД равносторонний.
Угол СДЕ равен углу АДД`, а если к ним прибавить 60 получим 90.
Ответ 15
В треугольнике ABC биссектриса AE равна по длине отрезку CE. Также известно, что 2AB=AC. Найдите величину угла B.
Ну конечно, следует отложить на АС отрезок АВ`=АВ. Тогда и В`С будет равен АВ, а значит ЕВ` будет медианой равнобедренного треугольника, т.е. и высотой.
Рассмотрим треугольники АВЕ и ЕСВ`. Они равны по первому признаку, значит угол В прямой.
Ответ 90
Дана трапеция ABCD с основанием AD, в которой выполнены равенства AB=BC, AC=CD, BC+CD=AD. Найдите величину наибольшего угла трапеции ABCD.
На АД отложим C` так, чтобы АC`=ВС, а ДC`=ДС. Получаем равные угла при основании равнобедренных треугольников, а так же накрестлежащие.
Нам нужно найти 2х+у
х=180-2у
Значит, нужно найти 360-4у+у=360-3у
Рассмотрим треугольник САД, 3х+у=180
540-6у+у=180
5у=360
у=72
360-3*72=360-216
Ответ 144
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH. Оказалось, что CH=AB+BH. Чему равен угол ABC, если ∠BAC=81∘?
Отложим отрезок НВ` равный НВ, тогда от отрезка СН останется отрезок, равный АВ.
Треугольник АВВ` равносторонний, потому что в нем высота равна медиане, соответственно и биссектрисе. Таким образом и АСВ` тоже равносторонний.
2х+z=81
2х+2у=180
Если посмотреть на треугольник АВ`С, то получается, что внешний угол у должен равняться 2z.
2х+4z=180
81-z=180-4z
3z=99
z=33
Но нам нужен у, а это 2z
Ответ 66