Дугинов Л.А. L.duginov@mail.ru
Ключевые слова: Пример расчёта, вольт-амперная характеристика, ВАХ, метод расчёта, электрическая схема, постоянный ток, нелинейные сопротивления, линеаризация системы нелинейных уравнений, программа Mathcad.
Введение
Для расчёта сложных линейных цепей постоянного тока были разработаны методы основанные на первом и втором законе Кирхгофа, а также вытекающие из них методы контурных токов и узловых потенциалов. Нелинейные цепи также описываются системой уравнений основанные на первом и втором законе Кирхгофа. Однако общих аналитических методов решения системы нелинейных уравнений не существует, поэтому решение таких задач проводится численными методами на ЭВМ. Что касается метода контурных токов и узловых потенциалов, то они применимы только для линейных цепей. Из многих численных методов в этой статье будет разбираться история появления так называемого "итерационного" метода.
Немного истории
Ниже приводится самый давний пример расчёта итерационным методом, взятого из учебника для ВУЗа - 1975 года (л.2), в котором на рис.20-33 показана небольшая электрическая схема, где сопротивления R1 и R2 - нелинейные. Остальные сопротивления - линейные. Схема работает на постоянном токе. Вольт-амперные характеристики нелинейных сопротивлений R1 и R2 заданы на рис.20-34. Отличительной особенностью этого метода является успешное применение в итерационном процессе статического сопротивления Rст, рассчитываемого по данным соответствующей ВАХ.
Особенности первых расчётов "итерационным" методом:
- Необходимо составить систему из 3-х контурных уравнений, учитывая только линейные сопротивления R3, R4, R5 и Ro.
- Путём сложных преобразований из системы из 3-х контурных уравнений выводятся итерационные уравнения для определения тока I1 и падения напряжения на нелинейном сопротивлении U2.
- Используя уравнения, полученные в п.2, по алгоритму заложенному в таблицу 20-4, для каждой итерации определяются статические сопротивления R1ст - R2ст, токи I1 - I2 в ветвях с нелинейными сопротивлениями R1 - R2 и напряжения U1 - U2 на их зажимах.
Как видно из перечня особенностей первых расчётов "итерационным" методом алгоритм решения схемы получился довольно сложным и трудоёмким. Может быть по этим причинам данный метод решения сложных электрических схем на постоянном токе в дальнейшем по мере развития широкого распространения персональных компьютеров остался полностью (включая идею применения статических сопротивлений) невостребованным. Даже при разработке методик расчётов для небольших электросхем на постоянном токе применялись какие угодно варианты ,только не включающие идею применения статических сопротивлений. Утверждалось, что их можно применять только совместно с источниками ЭДС и только на линейных участках ВАХ. Как говорится, выплеснули ребёночка из ванночки вместе с мыльной водой! Поэтому я думаю, что к этому приложили свои руки электрики-математики, которые совершенно не заботились о физической природе данного итерационного процесса. За что и получили должное, пропустив возможность создать великолепный простой метод расчёта, не уступающий по своим возможностям все современные, основанные на разных вариантах метода Ньютона.
Параллельное развитие "итерационного" метода
Отсутствие Интернета в 1970-х годах привело к тому, что появлению множества методик расчёта (в основном для небольших электросхем постоянного тока) стало результатом разработок отдельных авторов и не получало широкого распространения среди потенциальных пользователей. С одной стороны это было хорошо, так как из общего списка новых разработок исключались очень слабые и слишком громоздкие, но с другой стороны пропадали и очень хорошие методики, но зарубленные местными начальниками по разным причинам. Короче, каждое предприятие варилось в собственном соку. Однако находились (очень редко) предприятия в которых возникала хорошая идея (возможно невольное дублирование) и местные начальники не мешали её развитию и даже продвижению в печати.
Ниже приводится повторный электрический расчёт, взятой из учебника для ВУЗа - 1975 года (л.2), который также выполнен итерационным методом, использующим идею применения статических сопротивлений. Разумеется алгоритм всего расчёта совершенно другой, в том числе:
- Отпала необходимость вручную составлять систему из 3-х контурных уравнений, основанные на первом и втором законе Кирхгофа. Вместо этого расчёт схемы выполняется методом контурных токов, не доступный прежним алгоритмам.
- Отпала необходимость вывода итерационных уравнения для определения тока I1 и падения напряжения на нелинейном сопротивлении U2.
- Весь расчёт автоматизирован и выполняется по единому алгоритму. Отпала необходимость при расчёте величин статических сопротивлений пользоваться графическим методом, в связи с переходом на табличный метод задания ВАХ.
Одно замечание к повторному расчёту
В общем случае, когда падение напряжения U на нелинейном сопротивлении R нельзя представить как степенную функцию от тока I, т.е. U(I), используется графический метод, а с широким распространением персональных компьютеров разработан алгоритм, позволяющий с высокой точностью находить падение напряжения U по заданному значению тока I, пользуясь табличным методом задания данной функции.
Распечатка результатов расчёта RR4 (величины тока I1, I2, I3,I4 и I5).
Распечатка результатов расчёта RR4 (ток Io и контурные токи XX1, XX2 и XX3).
Распечатка результатов расчёта RR4- (падения напряжения DH на сопротивлениях Ro, R1-R5: DHo, DH1,DH2,DH3,DH4 и DH5).
Выводы
- Автор решения схемы, опубликованной ещё в 1975 году, видимо не оценил полностью значение и роль статического сопротивления Rст в итерационном процессе расчёта. Для него Rст был только удобным математическим приёмом при решении этой задачи, а физика процесса расчёта была на последних местах.
- Как показала практика подобных расчётов любые нелинейные сопротивления можно линеаризовать заменяя нелинейные сопротивления на статические (т.е. линейными) пользуясь ВАХ либо графическим способом, либо табличным методом, либо (если это возможно) аналитическим способом.
- Метод расчёта - универсальный. По данному методу (после необходимых переделок) выполнены расчёты сложных магнитных систем (л.3)
- Остаётся загадкой почему для этого способа решения в качестве исходных данных для 1-й итерации можно задавать практически любые значения токов в ветвях, или сразу задавать произвольные значения Rст? В тоже время современные методы расчёта вынуждены очень ограничивать этот диапазон, иначе решения задачи не получить!
Литература.
- Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1975..стр.599-600.
- Аврух В. Ю., Дугинов Л. А., Шифрин В. Л. и др. Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов // Электротехника. – 1975. – № 12.
- Дугинов Л. А. Пример расчёта сложной магнитной цепи на постоянном токе по программе Mathcad., Сайт dzen.ru «Про Гидравлику и Электрику». 25.01.2025 г
- Дьяконов В.П. Mathcad 8-12 для студентов. Серия «Библиотека студента» М.: СОЛОН-Пресс, 2005