Сириус. Комбинаторика. 7 класс. Математические игры. Соответствия

Рассматриваются два множества трёхзначных чисел: те числа, в записи которых каждая цифра больше предыдущей, и те числа, в записи которых каждая цифра меньше предыдущей. Найдите разность между количествами этих чисел (из большего необходимо вычесть меньшее).

Числу 123 соответствует 321, но числу 320 не соответствует зеркальное трехзначное.

Значит чисел у которых каждая цифра меньше предыдущей больше.

Получается, что если число начинается на 9 сотен, то чисел в которых каждая цифра меньше предыдущей, кончающихся на 0 будет 8: 10,20,30,40,50,60,70,80

На 8 - 7, на 7 - 6, на 5 - 4, на 4 - 3, на 3 - 2, на 2 -1

8+7+6+5+4+3+2+1= 36

Ответ 36

Рассматриваются два множества трёхзначных чисел: те, у которых средняя цифра меньше обеих крайних, и те, у которых средняя цифра больше обеих крайних. Найдите разность между количествами этих чисел (из большего необходимо вычесть меньшее).

Тут опять засада с нулем.

Если число 101 - ему не найти соответствия среди цифр где средняя самая большая. Таких чисел, не трудно посчитать, 9.

А если число 201 и соответственно 102 - в соответствие им пойдет не пара чисел, а одно - 120.

Таких чисел 9*1*8= 72, но соответствия нет только у половины

36+9=45

Ответ 45

Рассматриваются два множества трёхзначных чисел: те, у которых первая цифра на 2 меньше, чем сумма двух последних цифр, и те, у которых последняя цифра на 2 меньше, чем сумма двух первых цифр. Найдите разность между количествами этих чисел (из большего необходимо вычесть меньшее).

Ставим в соответствие числа, у которых меньше первая цифра тем, у которых меньше последняя цифра, например 314 - 143

Но есть цифры, у которых сумма первых двух 2 и при вычитании двойки на конце окажется ноль - 110 200 - им нельзя поставить в соответствие 011 и 020.

Но есть так же 7 чисел, у которых первая цифра меньше суммы остальных двух, но по середине ноль - это числа 103... 709. Им нельзя поставить в соответствие 031...097

Итого 7-2=5

Ответ 5

Каких последовательностей больше?

• последовательностей из 9 цифр от 000000000 до 999999999 таких, что каждая цифра больше предыдущей

На первый взгляд кажется что таких последовательностей больше всего, но на самом деле нет. На первом месте может быть только 0 или 1, на последнем только 8 или 9.

Если поставить на первое место 1, то последовательность будет единственной. Если 0, то на второе место можно 1 или 2, если 1 то на третье место можно 2 или 3... Т.е. 9 вариантов.

Итого, 10!:9!=10

• последовательностей из 9 цифр от 000000000 до 999999999 таких, что каждая цифра меньше предыдущей

симметрично

• последовательностей из 6 цифр от 000000 до 999999 таких, что каждая цифра больше предыдущей

Количество комбинаций 10!:(6!(10-4)!)=210

• последовательностей из 6 цифр от 000000 до 999999 таких, что каждая цифра меньше предыдущей

симметрично

• последовательностей из 4 цифр от 0000 до 9999 таких, что каждая цифра больше предыдущей

Количество комбинаций 10!:(4!(10-6)!)=210

• последовательностей из 4 цифр от 0000 до 9999 таких, что каждая цифра меньше предыдущей

симметрично

Остальные задачи раздела