В ответ на пост
Что касается самого доказательства, то оно реконструируется примерно так (это второе видео по ссылке в предыдущем посте).
🟪 Поскольку несоизмеримость корня из двух была известна, доказательство соизмеримости корней из четных чисел сводилось к нечетным числам. Почему? Потому что любое четное число n может быть представлено как 2^u * v, где
🟦 ...и u, и v — нечетные, и тогда корень иррационален, например 6 = 2^1 * 3
🟦 ...u четное, а v — нечетное, тогда рациональность или иррациональность корня зависят от корня из v, например: 12 = 2^2 * 3 = 2√3
Иными словами, корень из произвольного четного числа n иррационален, если либо степень двойки нечетная, либо нечетный множитель v не дает рационального корня.
🟪 Значит, Феодор берет только нечетные числа: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 (урок был не такой затянутый, как принято считать!)...
🟪 ...и применяет к ним известную тогда теорему: любое нечетное квадратное число, уменьшенное на 1, становится 8-кратным треугольным числом
3^2 = 9, 9-1 = 8, 8/8 = 1
5^2 = 25, 25-1 = 24, 24/8 = 3
7^2 = 48, 49-1 = 48, 48/8 = 6… и т.д.
🟪 Тогда задача сводится к такому вопросу:
Пусть n — нечетное целое число. Существуют ли нечетные целые числа p и q, такие что корень из n = p/q? Это то же самое, что: n = p^2/q^2, или n*q^2 = p^2.
Геометрический смысл: сторона квадрата площадью n равна отношению p к q, что значит, что n равна отношению квадратов на сторонах p и q, что в свою очередь означает, что квадрат площадью p равен площади q взятой n раз. (Но n — нечетное, значит p и q тоже нечетные)
Если квадраты с таким отношением площадей и сторон существуют, то корень из n выражается через рациональную дробь и соизмерим с единицей. Если нет — несоизмерим.
🟪Но квадрат нечетного числа должен быть, за вычетом единицы, кратен 8. Поэтому (для n = 3):
3q^2 = 8k+3
p^2 = 8h+1
8k+3 = 8h+1
2 = 8h – 8k
…но 2 не кратно 8, поэтому корень из трех иррационален.
✍️ Попробуйте прорешать аналогично примеры с 5, 7, 11, 13, 15, 17... И вы поймете, почему Феодор остановился на 17! Мы вчера попробовали и пришли в восторг.
Подсказка: из того, что нечетные квадраты за вычетом 1 кратны 8, не следует, что все кратные 8 числа + 1 — это квадраты.