Знаете многие математики оставили свой след в философии, достаточно вспомнить голландского математика и философа, жившего в период с 1881 по 1966 год. Его полное имя звучит как Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр, друзья же называли его «Бертусом».
Он известен тем, что в классической математике он стал одним из основателей современной топологии, разделе математики, изучающем свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. К примеру, он установил, так называемые, топологическую инвариантность размерности и теорему о неподвижной точке. Он также дал первое правильное определение размерности.
Его вкладом в философию является, так называемый, — интуиционизм, или, по-другому, ревизионистское основание математики. Интуиционизм рассматривает математику как свободную деятельность сознания, независимую от любого языка или платоновского царства объектов и идей, и потому основывает всю математику на философии сознания. Последствия этого предположения были двояки.
- Во-первых, это привело к форме новой математики, в которой отвергаются огромные пласты классической, привычной большинству, математики.
- Во-вторых, опора на философию сознания вводит такие объекты и абстракции, которые отсутствуют в классической математике, а также в других формах математического знания.
Поэтому-то, считается, что интуиционистская математика не является полноправной частью классической математики. Так что, давайте разберемся, кем был Брауэр и в чём его вклад в науку и философию?
Краткая биография.
Известно, что Брауэр учился в одном из университетов Амстердама, где его самыми важными учителями были Дидерик Кортевег и Геррит Маннури, повлиявшими на его взгляды.
Кортевег (1848–1941) был профессором математики, механики и астрономии в Амстердамском университете с 1881 по 1918 год. Кортевег был одним из самых важных и влиятельных математиков в Нидерландах и внес большой вклад в развитие голландской математики. Среди его многочисленных результатов, вероятно, самым известным является уравнение Кортевега-де Фриза.
Другой его близкий друг, Маннури (1867–1956), был философом, математиком, психоаналитиком, бухгалтером и политическим активистом. Будучи в значительной степени самоучкой, именно он представил в научных кругах Нидерландов топологию (в серии статей 1897–1900 годов) и символическую логику Пеано (в своей лекции 1903 года). В 1903 году он был назначен приват-доцентом (неоплачиваемым лектором) по логическим основам математики в Амстердамском университете, где Брауэр был одним из его первых и самых восторженных студентов. Именно ранние топологические работы Маннури оказали решающее влияние на молодого Брауэра: «подтекст» этой работы, сказал Брауэр в своей речи в 1946 году, изменил его взгляд на математику с собирания «истин, завораживающих своей неподвижностью, но ужасающих своей безжизненностью, как камни с бесплодных гор безутешной бесконечности», на интерес к тому, что «построено... из структурных элементов нашего мышления» . Брауэр также был очень заинтересован в размышлениях Маннури об использовании и неправильном использовании языка в математике и философии. В 1917 году Маннури стал экстраординарным профессором , а уже в 1918 году — ординарным профессором Амстердамского университета, сменив Кортевега на кафедре аналитической и начертательной геометрии, механики и философии математики до 1937 года. Значительная часть его карьеры была посвящена дальнейшему развитию сигнифик , анализу коммуникативных актов, начиная с идей, изложенных Викторией, леди Уэлби в ее статье «Смысл, значение и интерпретация». Брауэр также принимал участие в этом проекте.
Главными (интуиционистскими) учениками Брауэра были Мауриц Белинфанте, Аренда Гейтинг и Йохан де Йонг; Гейтинг, в свою очередь, был учителем Анны Троелстры и Дирка ван Далена, а де Йонг — Вима Вельдмана. Занятия Брауэра также посещал Макс Эйве, впоследствии ставший чемпионом мира по шахматам, который опубликовал работу по теории игр в шахматах с интуиционистской точки зрения, и который гораздо позже произнесет траурную речь на могиле Брауэра. Самым же влиятельным сторонником интуиционизма Брауэра за пределами Нидерландовбыл в течение ряда долгих лет Герман Вейль (хотя его адаптация интуиционистского анализа не была полностью последовательной).
Современники говорят, что Брауэр был независимым человеком с высокими моральными стандартами, с преувеличенным чувством справедливости, и из-за этого он часто вступал в драки. Брауэр однажды сказал, разговаривая с дочерью Маннури, что: «...твой отец — один из немногих людей, с которыми я никогда не ссорился. Но он пробуждал в людях хорошее, а я — плохое».
С 1914 по 1928 год Брауэр был членом редакционной коллегии журнала Mathematische Annalen и одним из основателей журнала Compositio Mathematica, впервые вышедшего в свет в 1934 году. Среди прочего, он был членом Голландской академии наук, Королевского общества в Лондоне и других. Также Брауэр получил почетные докторские степени от университетов Осло (1929) и Кембриджа (1954), а в 1932 году был удостоен звания рыцаря Ордена голландского льва.
Краткая характеристика интуиционизма Брауэра.
Основываясь на своей философии сознания, на которую наибольшее влияние оказали Кант и Шопенгауэр, Брауэр характеризовал математику, в первую очередь, как свободную деятельность точного мышления, деятельность, которая основана на чистой интуиции (внутреннего) времени. Никакая независимая сфера объектов и никакой язык не играют в развитии математики никакой фундаментальной роли. Этим он стремился избежать отголосков платонизма (с его эпистемологическими проблемами) и формализма (с его жалкой внутренней потенцией).
По мнению Брауэра, не существует никакой детерминанты математической истины вне деятельности мышления, а потому, предложение становится истинным только тогда, когда субъект испытал его истинность (выполнив соответствующую ментальную конструкцию); аналогично, предложение становится ложным только тогда, когда субъект испытал его ложность (поняв, что соответствующая ментальная конструкция невозможна). Отсюда Брауэр утверждал, что «нет неопытных истин».
Брауэр следовал своей философии сознания до ее окончательных выводов. Он жил своей философией, ему было не важно была ли его новая математика совместима или несовместима с классической математикой. Для него это было всего-лишь очередным второстепенным вопросом, и никогда ничего не решающим. Таким образом, предоставив философии приоритет над традиционной математикой, он показал себя ревизионистом. И действительно, в то время как интуиционистская арифметика является подсистемой классической арифметики, в математическом анализе ситуация совершенно иная: не весь классический анализ интуиционистски приемлем, но и не весь интуиционистский анализ классически приемлем. Брауэр принял это следствие всецело и это сделало его идеи прорывными.
Так кто же он, Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр? Он — математик и философ, который поверг сомнению неограниченную приложимость классических законов.