В значении "трудный, сложный", у этих слов разница только стилистическая. Hard немного более разговорный вариант, чем difficult.
It is hard to believe that she's only nine. - Сложно поверить, что ей только девять лет.
It is difficult to imagine how this could have happened. - Сложно представить, как такое могло произойти.
Однако, у этих слов есть другие значения, которые не синонимичны.
Так, если мы про кого-то скажем hard, то это может означать разные вещи в зависимости от контекста:
I admired him as a true scientist and hard worker. - Я восхищалась им, как истинным ученым и неутомимым работником.
His father was a hard man. - Его отец был жестким человеком.
He's as hard and uncompromising as any professional sportsman. - Он несгибаемый и бескомпромиссный, как любой профессиональный спортсмен.
Если мы скажем, что какой-то человек difficult, это будет означать "сложный" человек в плане "тот, которому сложно угодить".
We have training in how to deal with difficult customers. - Мы обучены, как взаимодействовать со сложными клиентами.
Жесткая и твердая поверхность – это hard.
Diamonds are the hardest known mineral. - Алмазы – это самый твердый известный материал.
Неопровержимые факты и доказательства – это тоже hard.
The newspaper story is based on hard facts. - Газетная статья основана на неопровержимых фактах.
Если мы говорим про погоду, звуки или цвета hard, они - неприятные.
It had been a hard winter. – Это была суровая зима.
The sea was a hard blue. – Море было синего, режущего глаз, цвета.
Ну и если есть противопоставление с soft, то всегда будет hard: hard drinks, hard water, hard sound. (И hardware :)
Успехов!