Первая глава:
Предыдущая глава:
Что такое эвклидова геометрия, вам известно еще со школы. Напомню, что она базируется на так называемых аксиомах Эвклида:
1. Всякие две точки можно соединить прямой линией.
2. Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить;
3. Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность;
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы, которые в сумме меньше двух прямых углов, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.
Пятую аксиому еще можно сформулировать так: Через точку вне прямой в их плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.
Эти постулаты верны для эвклидовой геометрии, но сегодня мы поговорим о неэвклидовой геометрии, где эти постулаты не верны.
Давайте подключим воображение. Представьте, что вы рисуете на плоском листе бумаги. Можно провести прямую линию, измерить расстояние между точками, и все будет подчиняться правилам обычной геометрии, которую придумал ещё Евклид – это эвклидова геометрия. В ней прямые линии бесконечно длинны и параллельные линии никогда не пересекаются. Угол в треугольнике всегда равен сумме двух других углов минус 180 градусов. Вот, посмотрите иллюстрацию:
Но что если рисовать на поверхности шара (мячика, например). Там тоже можно провести типа «прямые» линии, но только они будут не прямые. Дуги получаться или большие круги (например, экватор или меридианы на глобусе). Но вот незадача: две типа «параллельные» линии на мяче всё равно пересекутся, например, два меридиана пересекаются на полюсах. То есть, кажется, что линии параллельные, но это вовсе не так. Потому что в геометрии на шаре не получается сделать такие же параллельные линии, как на ровной плоскости. И сумма углов в треугольнике тут тоже будет больше 180 градусов! Это уже неэвклидова геометрия. Она описывает пространства, где привычные нам эвклидовы правила не работают. Вот, полюбуйтесь:
Есть и другие виды неэвклидовой геометрии. Например, на поверхности седла («гиперболическая геометрия"» сумма углов в треугольнике будет меньше 180 градусов, и параллельные линии могут пересекаться не в одной точке, а в бесконечном количестве:
Эвклидова геометрия отлично подходит для описания нашего повседневного мира – построек, расстояний на небольших участках Земли. А вот для описания Вселенной в целом, для работы с очень большими расстояниями и искривленными пространствами, нужна неэвклидова геометрия. Эйнштейн использовал её в своей теории относительности, чтобы объяснить, как работает гравитация и как искривляется пространство-время вокруг массивных объектов.
Так что, эвклидова геометрия – это как рисование на плоском листе, а неэвклидова – как рисование на мячике или седле. И обе они важны для понимания мира вокруг нас, просто в разных масштабах.
Можно продолжить аналогию. Представьте себе карту мира. На маленьком участке, например, в пределах одного города, она отлично ложится на плоскость и позволяет точно измерить расстояния. Но попробуйте перенести эту плоскую карту на всю Землю! Она неизбежно исказится, потому что наша планета – шар. Для отображения целой планеты на плоскости нужны специальные проекции, учитывающие кривизну Земли.
Неэвклидова геометрия, в отличие от плоской эвклидовой, дает нам инструменты для работы с искривленными пространствами, подобными поверхности Земли или, что еще сложнее, пространству-времени. Она позволяет понимать, как свет распространяется вблизи черных дыр, как гравитация влияет на траектории планет и галактик, и как выглядит Вселенная в целом. Без нее современная космология просто не существовала бы.
Подытожив вышесказанное, можно констатировать, что эвклидова и неэвклидова геометрии не противоречат друг другу, а скорее дополняют.