🔹 Подборка Повторяем математику 7 класс здесь
🤩 Поддержи меня лайком, комментарием или подпиской! 😇
Вот какие задания рассмотрим сегодня:
10 заданий на формулу разность квадратов a²-b²=(a-b)(a+b)
10 заданий на формулы квадрат разности (a-b)²=a²-2ab+b² и квадрат суммы (a+b)²=a²+2ab+b²
3 комбинированных задания на формулы сокращенного умножения
〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰
Данное занятие является третьим по теме "Формулы сокращенного умножения". Вот два предыдущих занятия:
1) Здесь общая информация по формулам сокращенного умножения: как их не путать, как применять, как сворачивать, и даже как НЕЛЬЗЯ делать!
2) Здесь 10 реальных заданий на тему формул сокращенного умножения: как избавиться от скобок, упростить выражение, сократить дробь, представить в виде многочлена
Сегодня рассмотрим задания типа "Разложите на множители", где происходит разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.
Вдруг какие-то вопросы возникнут, смотри всю подборку Повторяем математику 7 класс:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
В наших сегодняшних заданиях нужно будет раскладывать на множители. Я хочу, чтобы вы понимали, что есть несколько способов разложения на множители, и формулы сокращенного умножения - лишь один из них.
Способы разложения на множители:
1) вынести общий множитель за скобку - в 7 классе это точно нужно уметь (сегодня это будем применять в том числе)
2) формулы сокращенного умножения - это проходят в 7 классе (сейчас как раз и будем рассматривать только такие примеры, натренируемся!)
3) формула разложения квадратного трехчлена (проходят позже 7 класса, сейчас не рассматриваем такой способ)
4) деление столбиком многочлена на двучлен (проходят гораздо позже 7 класса, тоже сейчас не рассматриваем)
Есть и другие способы, но я их вообще не рассматриваю в своих материалах. Считаю, что этих способов более чем достаточно.
🧐🧐🧐
Итак, на момент окончания 7 класса нужно уметь выносить за скобку общий множитель и раскладывать на множители с помощью формул сокращенного умножения.
🧐🧐🧐
Что от нас хотят в заданиях "Разложите на множители"
Задания могут звучать по-разному:
🔹 Разложите на множители выражение;
🔹 Разложите на множители многочлен;
🔹 Представьте в виде произведения многочлен.
🧐🧐🧐 Обращаю ваше внимание, что по сути это все одно и то же задание! Нам дается какое-то исходное выражение с итоговыми знаками действия "+" или "-", а мы должны получить итоговый знак действия "*":
Прокомментируем приведенный пример: слева многочлен, состоящий из двух слагаемых. В нем итоговый знак действия - это минус, а не умножение, значит, он не разложен на множители. Справа выражение, которое состоит из двух перемножающихся скобок, значит, итоговый знак действия уже - это умножение. То есть справа уже получено разложение на множители. Множителями как раз и являются эти две скобки. А всё правое выражение можно назвать произведением скобок.
Также задание может звучать так:
🔹 Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена.
Прокомментируем и этот пример: слева многочлен, состоящий из трех слагаемых. В нем итоговые знаки действия - это минус и плюс, а не умножение, значит, он не разложен на множители. Справа выражение, которое состоит из скобки (двучлена), возведенной в квадрат, то есть это квадрат двучлена. НО квадрат можно расписать как перемножение двух одинаковых скобок, значит, итоговый знак действия уже - это умножение. То есть справа уже получено разложение на множители. Множителями как раз и являются эти две скобки.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
10 заданий на формулу разность квадратов
Задание 1. Разложите на множители
Сейчас я очень подробно расписала решение. Если вы усвоили данную тему, то решение должно выглядеть так:
То есть все рассуждение вы на автомате продумываете в тот момент, как только видите пример, понимаете, какую формулу надо применить, и расписываете сразу конечное выражение.
Обращаю ваше внимание, что полученное выражение действительно является разложенным на множители, так как мы получили две перемножающиеся скобки.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 2. Разложите на множители
В итоге мы получили произведение двух скобок, то есть разложили на множители.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 3. Разложите на множители
В итоге мы получили произведение двух скобок, то есть разложили на множители.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 4. Разложите на множители
В итоге мы получили произведение двух скобок, то есть разложили на множители.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 5. Разложите на множители
В итоге мы получили произведение трех скобок, то есть разложили на множители.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 6. Разложите на множители
В итоге мы получили произведение двух скобок, то есть разложили на множители.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 7. Разложите на множители
Наверняка, увидев этот пример, вам захотелось раскрыть скобки с квадратом по формуле (a-b)²=a²-2ab+b²!
Давайте посмотрим что получится, если мы так сделаем:
Получается, что так мы, наоборот, избавились от скобок и получили многочлен. А по заданию должны были разложить на множители, то есть получить произведение скобок!
🤔🤔🤔 Поэтому, прежде чем начинать хоть что-то решать - подумайте, приведет ли это вас к поставленной цели. А то время и силы можно потратить, а задание не выполнить! 🙄🙄🙄
🤓🤓🤓 Здесь подробно не расписываю как раскрывается скобка в квадрате по формуле квадрат разности (a-b)²=a²-2ab+b². Раскрывать по этим формулам мы тренировались в прошлый раз:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 8. Разложите на множители
В итоге мы получили произведение двух скобок, то есть разложили на множители.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 9. Разложите на множители
Рассмотрим сначала решение по нашей формуле a²-b²=(a-b)(a+b)
В итоге получилось выражение - одночлен, итоговым знаком действия здесь является умножение, так что наша цель достигнута - мы разложили на множители.
Но именно в данном примере есть смысл попробовать раскрыть квадраты, в отличие от примеров 7, 8. Дело в том, что в данном случае под квадратами стоят похожие выражения, которые явно посчитаются друг с другом после раскрытия скобок. Посмотрим что получится:
Как видно, этот способ тоже имеет право на существование. Но только в определенных случаях: когда выражения под квадратами похожи.
🤓🤓🤓 Здесь подробно не расписываю как раскрываются скобки в квадрате по формулам квадрат разности (a-b)²=a²-2ab+b² и квадрат суммы (a+b)²=a²+2ab+b². Эти формулы мы тренировали в прошлый раз:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 10. Разложите на множители
В итоге мы получили произведение двух скобок, то есть разложили на множители.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
10 заданий на формулы квадрат суммы и квадрат разности
Задание 11. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена, если это возможно.
В данном способе легко допустить ошибку, так как нужно внимательно проверять серединку. Поэтому я рекомендую расписывать немного по-другому:
Во втором решении я подробно расписала проверку серединки. Мы можем сворачивать по этой формуле, только если мы уверенны, что эта формула абсолютно подходит.
В итоге мы получили скобку в квадрате, как и требовалось в задании.
👿👿👿 Если у вас в каком-то примере получается так, что серединка не подошла, то тогда НЕЛЬЗЯ сворачивать по формуле квадрат разности или суммы!!! 👿👿👿
😎😎😎 А теперь немного о проверке. Проверка - дело очень важное, особенно когда вы сидите на экзамене, и у вас нет ответов и подсказать никто не может. В данных заданиях можно обратно раскрыть скобки с квадратом по этой же формуле, а можно подставить конкретные числа исходное выражение и в свой ответ:
Какой вид проверки выбирать - личное дело каждого. С одной стороны, полезно лишний раз в голове прокручивать формулу в ту и обратную сторону. С другой стороны - бывает так, что перемкнуло что-то в голове и ты сидишь и гоняешь эту формулу с ошибкой в ту и другую сторону, и из-за этого не увидишь ошибку в самом примере, а вот числа не обманешь 😉
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 12. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена, если это возможно.
В этом примере тоже используем формулу квадрат разности, т.к. перед удвоенным произведением стоит знак МИНУС
В итоге мы получили скобку в квадрате, как и требовалось в задании.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 13. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена, если это возможно.
В итоге мы получили скобку в квадрате, как и требовалось в задании.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 14. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, если это возможно.
В данном случае перед удвоенным произведением 2x⁶t⁶ стоит знак +, значит, и в скобках под квадратом будет сумма.
В итоге у нас получилось выражение, противоположное квадрату двучлена из-за внешнего минуса, который изначально был в примере.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 15. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена, если это возможно.
Но что делать, если попался такой пример, а разложить на множители всё равно нужно?
Это, конечно, уже программа 8-го класса, но я все равно выложу тут решение.
Исходно у нас квадратный трехчлен. Значит, мы можем разложить на множители, найдя корни квадратного трехчлена:
В итоге у нас получилось разложенное на множители выражение.
Все, кто закончил 8-й класс, должны уметь всё это делать. Но, как показывает практика, большинство это тут же забывает.
😎😎😎 Формулу разложения квадратного трехчлена на множители стОит запомнить, так как она понадобится в дальнейшем! 🤓🤓🤓
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 16. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена, если это возможно.
Итак, в квадрат двучлена свернуть невозможно.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 17. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена, если это возможно.
В итоге мы получили скобку в квадрате, как и требовалось в задании.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 18. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена, если это возможно.
В итоге мы получили скобку в квадрате, как и требовалось в задании.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 19. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена, если это возможно.
В итоге мы получили скобку в квадрате, как и требовалось в задании.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 20. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена, если это возможно.
В итоге мы получили скобку в квадрате, как и требовалось в задании.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3 комбинированных задания
Здесь будут использованы сразу 2 формулы в каждом задании
Задание 21. Разложите на множители.
Здесь уже 4 слагаемых, а не два или три, как в предыдущих 20 заданиях!
Вспоминаем способы разложения на множители.
В конце 7 класса мы знаем 2 способа:
- вынести за скобку
- формулы сокращенного умножения
Вынести за скобку - не поможет, т.к. нет одинакового множителя во всех четырех слагаемых. Конечно, можно попытаться сгруппировать слагаемые по-разному. 🧐 Попробуйте, если что-то получится - напишите, пожалуйста, в комментариях 📝
Формулы сокращенного умножения - ищем глазами то, что похоже на формулу:
В итоге мы получили произведение двух скобок, т.е. разложили на множители, что и требовалось в задании.
Здесь итоговый знак действия остался +, значит, мы НЕ разложили на множители. Данный вариант не приводит к решению.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 22. Разложите на множители.
В итоге мы получили произведение двух скобок, т.е. разложили на множители, что и требовалось в задании.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задание 23. Разложите на множители.
В итоге мы получили одну большую дробь, в числителе и знаменателе итоговым знаком действия является умножение. Внутри скобочек получились выражения с квадратами, но их уже никак не разложишь. Дело в том, что если знак действия плюс, то под формулу a²-b² не подходит, за скобку ничего не вынесешь. Поэтому так и оставляем. В данном примере мы разложили по максимуму все что можно.
Неважно, каким способом решать - ответ от этого зависеть не должен.
Как видно, мы получили одно и то же выражение разными способами.
〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰
🤩🤩🤩 А теперь самое время потренироваться!!! 👇👇👇
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Реши сам - задания для тренировки:
1) Задания на формулу разность квадратов, из учебника Алгебра 7 класс (Ю.Н. Макарычев, 2023г.)
2) Задания на формулы квадрат суммы и квадрат разности, из учебника Алгебра 7 класс (Ю.Н. Макарычев, 2023г.)
3) Представьте в виде квадрата выражения, если это возможно:
4) Разложите на множители многочлен:
Задания 1-2 можете проверить в ответах учебника или на сайте ГДЗ (правда, там иногда бывают ошибки, будьте осторожны 🤫).
А в заданиях 3-4 (как и в 1-2) можете сделать самостоятельно проверку:
1 способ: применить формулу в обратную сторону
2 способ: подставить какие-то легкие числа вместо переменных в самое исходное выражение и в ваш ответ. Если результат совпал - значит, все правильно 😎
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜
✅ Оглавление:
🔹 Подборка Повторяем математику 7 класс здесь
🧭 Путеводитель по каналу Подслушано по Математике здесь
📢 Телеграм-канал Подслушано по Математике здесь