Задание №14 в ОГЭ по математике представлено задачей на прогрессию (арифметическую или геометрическую).
В этой статье вы узнаете о задании №14, о всех вариациях этого задания, связанных с геометрической прогрессией, и о двух способах решения каждой из вариаций (с использованием формул и без них).
Задание №14: что это такое
Задание №14 в ОГЭ по математике - это единственное задание в разделе "Числовые последовательности".
Вам предлагается задача на вычисление, в которой присутствует какая-либо числовая последовательность или прогрессия.
Геометрическая прогрессия: теория
Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, состоящая из чисел b1, b2, b3 ... bn, в которой каждое следующее число (кроме первого) получается из предыдущего умножением его на знаменатель прогрессии.
b1, b2, b3... bn - члены прогрессии, соответственно, первый, второй, третий и n-ый (энный).
q - знаменатель прогрессии. Если прогрессия возрастающая (следующее число больше предыдущего), то q целое число, если же прогрессия убывающая (следующее число меньше предыдущего), то q - дробное число.
Указанные обозначения присутствуют в основных формулах геометрической прогрессии - формуле для нахождения n-ого члена прогрессии и формуле для нахождения суммы n первых членов прогрессии.
Удобно, что обе эти формулы есть в справочных материалах для ОГЭ.
Подборка задач
Все задачи традиционно были взяты из открытого банка заданий ОГЭ.
Я покажу два способа решения каждой из задач - с применением формул прогрессии и без их применения.
Задача про радиоактивный распад
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
Способ 1.
Определим, что дано и что нужно найти.
Дан первый член прогрессии b1 = 640 и знаменатель прогрессии q = 1/2.
Нужно найти b7. Чтобы это определить, делим 42 минуты на 7 минут. Получаем, что масса уменьшалась 6 раз. Следовательно, нужно найти b7.
Воспользуемся формулой n-ого члена прогрессии.
Ответ: масса изотопа через 42 минуты равна 10 мг.
Способ 2.
Определим, что дано и что нужно найти.
Дана масса изотопа в начальный момент - 640 мг. Также сказано, что каждые 7 минут масса уменьшается вдвоём. Нужно найти массу через 42 минуты.
Считаем поэтапно: через 7 минут масса станет 640 / 2 = 320 мг, через 14 минут 320 / 2 = 160 мг, через 21 минуту 160 / 2 = 80 мг, через 28 минут 80 / 2 = 40 мг, через 35 минут 40 / 2 = 20 мг, через 42 минуты 20 / 2 = 10 мг.
Ответ: масса изотопа через 42 минуты равна 10 мг.
Задача про биологический эксперимент
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Способ 1.
Определим, что дано и что нужно найти.
Дан первый член прогрессии b1 = 13 мг и знаменатель прогрессии q = 3.
Нужно найти b4. Чтобы это определить, делим 90 минут на 30 минут. Получаем, что масса колонии увеличивалась 3 раза. Следовательно, нужно найти b4 .
Воспользуемся формулой n-ого члена прогрессии.
Ответ: масса колонии через 90 минут равна 351 мг.
Способ 2.
Определим, что дано и что нужно найти.
Дана масса колонии в начальный момент - 13 мг. Также сказано, что каждые 30 минут масса увеличивается в 3 раза. Нужно найти массу через 90 минут.
Считаем поэтапно: через 30 минут масса станет 13 * 3 = 39 мг, через 60 минут 39 * 3 = 117 мг, через 90 минут 117 * 3 = 351 мг.
Ответ: масса колонии через 90 минут равна 351 мг.
Задача про мячик
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см?
Способ 1.
Определим, что дано и что нужно найти.
Дан первый член прогрессии b1 = 3,6 м = 360 см и знаменатель прогрессии q = 1/3.
Нужно определить, величина какого члена прогрессии будет меньше 15 см.
Воспользуемся формулой n-ого члена прогрессии.
Ответ: после 4 прыжка высота станет меньше 15 см.
Способ 2.
Определим, что дано и что нужно найти.
Дана высота после первого прыжка - 3,6 м или 360 см. Также сказано, что с каждым прыжком высота уменьшается в 3 раза. Нужно определить, после какого прыжка высота станет меньше 15 см.
Считаем поэтапно.
На 2 прыжке высота будет 360 / 3 = 120 см, что больше 15 см.
На 3 прыжке высота будет 120 / 3 = 40 см, что больше 15 см.
На 4 прыжке высота будет 40/ 3 = 13,3 см, что меньше 15 см.
Ответ: после 4 прыжка высота станет меньше 15 см.
Итог
При решении задач на геометрическую прогрессию с помощью формул важно правильно определить, какой член прогрессии нужно найти. На этом моменте многие ошибаются.
Также стоит отметить тот факт, что не всегда решение через формулы быстрее решения без использования формул. Однако выбор всегда за вами.
P.S. Да, задач всего три. На арифметическую больше - целых восемь.
P.S. Да, формула суммы не пригодилась. Возможно, в дальнейшем появятся задачи, в которых она будет использоваться.
Полезное для ОГЭ
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал и не забудьте посмотреть следующие полезные статьи:
Как рассчитать свою оценку за ОГЭ по математике в 2025 году?
9 задание ОГЭ по математике 2025: задание, которое можно проверить прямо на экзамене + все уравнения