Сириус. Дополнительные главы алгебры. 7 класс. Диофантовы уравнения

Найдите все пары простых чисел p и q, для которых выполняется равенство p^2−2q^2=1. В качестве ответа введите все возможные значения p.

По сути, раз разность у нас нечетная, то либо вычитаемое, либо уменьшаемое должно быть четным. Понятно, что вычитаемое, потому что оно умножается на четное 2.

Для простых чисел вариантов не много - это 2.

Ну и легко понять что 3^2−2*2^2=1

Ответ 3

Найдите все натуральные n такие, что n^3+1 является степенью (возможно, первой) простого числа.

n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)

Если одна из скобок равна 1, то вторая должна быть степенью второго числа.

n>0, поэтому только n^2-n+1 может быть равно единице.

n^2-n+1=1

n(n-1)=0

n=0 n=1

В других случаях n+1 и n^2-n+1 должны быть степенью одного простого числа. Если эти степени одинаковые:

n+1=n^2-n+1

n(n-2)=0

n=2

Ответ 1 2

Остальные задачи курса