Антон задумал четыре неотрицательных числа и посчитал их всевозможные попарные суммы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какие числа он задумал?
Пусть числа а1<a2<a3<a4
Самая маленькая сумма а1+а2=1, самая большая а3+а4=6
а1+а2=1, числа неотрицательные, поэтому вариант только 0 и 1.
Следующая по размеру сумма а1+а3=2, значит а3=2, значит а4=4
Ответ 0 1 2 4
У Васи есть 81 карточка: на девяти написана цифра 1, на других девяти — цифра 2, ……, на последних девяти — цифра 9. Он выложил из всех карточек квадрат 9×9, а затем убрал из него девять карточек, лежащих на большой диагонали. Затем он заметил, что сумма всех чисел на карточках выше этой диагонали ровно в 3 раза больше суммы всех чисел на карточках ниже этой диагонали. Чему равна сумма чисел на девяти карточках, убранных Васей?
Решение. Пусть A — сумма всех чисел над диагональю, B — сумма всех чисел под диагональю. Оценим величины A и B.
Сумма A состоит из 36 слагаемых и не больше, чем сумма наибольших
возможных слагаемых. Таким образом, A не больше, чем 270. Аналогично сумма B состоит из 36 слагаемых и не меньше, чем сумма наименьших возможных слагаемых. То есть B не меньше, чем 90.
Заметим, что наибольшее возможное значение A равно утроенному наименьшему возможному значению B. Это означает, что над главной диагональю обязаны стоять все наибольшие числа таблицы, а под ней — все наименьшие числа. Значит, числа на главной диагонали определяются однозначно, и их сумма равна 45.
Аня записала по кругу 30 неотрицательных чисел, каждое из них равно разности двух следующих за ним по часовой стрелке чисел (из большего вычитается меньшее). Сумма всех чисел равна 300. Чему может быть равно первое число, выписанное Аней?
Ответ 15 0
Денис выписал в строку натуральные числа от 1 до 100 так, что разность любых двух соседних (из большего вычитается меньшее) не меньше 50. Какие числа могут стоять на третьем месте?
Ответ 49 52