Почему? Жизненный опыт и интуиция как бы шепчут нам с левого плеча: «такого не может быть, чушь собачья», а математика за правым ухом говорит: «интуиция обманывает, всё уже доказано»!
Представьте: вы пришли на вечеринку, где собрались 23 человека. Кто-то предлагает заключить пари: он уверен, что среди гостей найдутся двое, кто родился в один день. Вы, разумеется, скептически пожимаете плечами, логично рассуждая, что в году 365 дней, а людей всего 23. Кажется, шансы минимальны. Но оказывается, ваш оппонент прав с вероятностью больше 50%! Это и есть «парадокс дней рождения» — задача, которая заставляет нас усомниться в своей интуиции и полюбить математику чуть сильнее.
Почему это парадокс?
Слово «парадокс» здесь не означает противоречие. Речь о том, что наш мозг отказывается верить в результат. Когда мы слышим о совпадении дней рождения, то сразу думаем: «Какой шанс, что у кого-то будет такой же день, как у меня?» И тут интуиция работает правильно: для этого действительно нужно около 180 человек (чтобы вероятность превысила 50%). Но в парадоксе речь не о вашем дне рождения, а о любой паре в группе. А пар, если у нас есть 23 человека, куда больше, чем кажется.
Как это работает? Объясняю на пальцах
Давайте считать не вероятность совпадения, а вероятность отсутствия совпадений. Это проще.
1. Первый человек может родиться в любой из 365 дней — вероятность 365/365 = 1 (100%).
2. Второй человек должен родиться в другой день: 364/365.
3. Третий человек — уже в один из 363 оставшихся дней: 363/365.
4. И так далее...
Для 23 человек формула будет выглядеть так:
Вероятность отсутствия совпадений = (365/365) × (364/365) × (363/365) × ... × (343/365).
Почему именно 343? Потому что 343 = 365 – 22, то есть каждый следующий человек «занимает» один день.
Если перемножить все эти дроби (можно воспользоваться калькулятором и проверить, что я не вру), получится примерно 0,493 — то есть 49.3% вероятности, что все дни рождения разные.
А чтобы найти вероятность того, что не все дни рождения разные, то есть вероятность хотя бы одного совпадения, нужно вычесть полученную вероятно из 1 или из 100%:
1 – 0.493 = 0.507 → 50.7%
Вот и получается, что всего 23 человека — и шанс перевешивает в сторону совпадения! И всё равно наш мозг
Почему результат кажется нелогичным?
Наш мозг плохо оценивает комбинаторику. В группе из 23 человек существует 253 уникальные пары (формула: n(n–1)/2 = 23×22/2). Каждая из этих пар «проверяет» совпадение дней. И хотя шанс совпадения для одной пары всего 1/365 (0.27%), при 253 попытках вероятность накладывается, как слои в пироге. Вот как это выглядит для разных групп:
- 10 человек → 12% вероятности совпадения.
- 30 человек → 70%.
- 50 человек → 97%.
Чем больше людей, тем стремительнее растёт число пар (для 50 человек это уже 1225 пар!). Поэтому вероятность взлетает так быстро.
Проверьте сами!
Соберите друзей или коллег. Если вас больше 23, попросите каждого назвать свой день рождения (можно без года). С вероятностью около 50% совпадение найдётся. Если нет — попробуйте в другой раз. Математика любит повторение! Чем больше людей будет, тем больше вероятность (смотри выше).
Где это пригодится в реальной жизни?
1. Криптография. Алгоритмы проверяют, не совпадут ли «хэши» (цифровые отпечатки данных) у разных файлов — это похоже на поиск «дней рождения» в огромном наборе чисел.
2. Спортивные ставки. Вероятность, что в команде из 30 игроков у двоих совпадёт дата рождения, выше, чем кажется.
3. Статистика. Если в эксперименте данные кажутся уникальными, парадокс напоминает: случайные совпадения случаются чаще, чем мы думаем.
А ещё это приводит нас к выводу о том, что интуиция часто обманывает. Математика — это не только цифры. Она помогает видеть скрытые связи, будь то дни рождения, шифры или случайные события, поэтому в следующий раз, услышав о «невероятном совпадении», вспомните этот парадокс, который говорит нам о том, что мир устроен так, что невероятное случается гораздо чаще, чем мы думаем.
Если было интересно, подпишись на мой Телеграм — там вся движуха и больше интересностей. А ниже ещё несколько интересных статей: