Жизнь полна парадоксов, на которые обычно даже не обращаешь внимание. Порой теория никак не стыкуется с практикой. Вот один из таких примеров.
Представьте себе обычное автомобильное колесо. Диск, на который смонтирована покрышка. Диск и покрышка, составляя теперь единое целое — колесо, катятся синхронно без проскальзываний. Парадокс в том, что диск и покрышка имеют разные радиусы и соответственно разные длины окружностей, но при этом проходят одинаковый путь. Как так?
Этот механико-математический парадокс люди заметили ещё в древности, но первым описал и занялся его изучением Аристотель в своём труде "Механика". Поэтому парадокс колеса ещё называют колесом Аристотеля. Позже этим парадоксом занимался Галилео Галилей, а окончательно объяснил его француз Жан Жак де Меран аж в 1715 году.
Совершенно очевидно, что, если взять колесный диск и прокатить его по песку, чтобы он сделал полный оборот, а потом взять покрышку и так же прокатить её радом на один полный оборот, след от покрышки будет длиннее. Но почему же, когда покрышка надета на диск, они проходят одинаковые пути?
Гифка выше наглядно показывает, что пути, которые проходят точки В и С (синий и красный соответственно), равны. Но совершенно очевидно, что это невозможно, ведь длина окружности равна — 2πR, а радиус обода диска меньше, чем внешний радиус покрышки. Синий путь должен быть меньше! Иначе можно утверждать, что колесо с окружностью 5 сантиметров способно пройти за один оборот тот же путь, что и колесо с окружностью в 5 метров!
Но такого не бывает ни на практике, ни в теории. Так в чем же тогда дело?
Чтобы понять, что на самом деле происходит, достаточно посмотреть на траектории движения двух выбранных точек: на ободе диска и внешнем радиусе покрышки.
Обе траектории (синяя и красная), которые опишут точки, называются циклоидами. И как несложно заметить, длина этих траекторий вообще-то неодинакова. Синяя длиннее красной.
И чем меньше будет радиус колесного диска, тем сильнее будет распрямляться красная циклоида, стремясь в конце концов к зеленой прямой.
То есть на самом деле никакого парадокса здесь нет. Есть путаница в понятиях "путь" и "перемещение". Перемещение двух точек в самом деле одинаковое, а вот путь разный.
Перемещение — это направленная прямая, соединяющая начальное положение точки с конечным.
Путь — длина траектории (линии,вдоль которой движется точка).
Представьте, что вы едете из Казани в Москву. Можно ехать через Нижний Новгород и Владимир, а можно через Самару, Пензу и Рязань. Расстояние (перемещение) между Москвой и Казанью будет одинаковым, но пройденный путь разным. Парадокс колеса основан ровно на том же.
А вот ещё несколько интересных парадоксов, которые рекомендую посмотреть: