Сириус. Дополнительные главы алгебры. 7 класс. НОД и НОК

Вычислите (323,437)

(323, 437-323)= (323,114)= (323-2*114, 114)= (95,114)= (95, 114-95)= (95,19)

Ответ: 19

Вычислите (4669,1798)

(4669-2*1798, 1798)= (1073, 1798)= (1073, 725)= (348, 725)= (348, 29)

Ответ 29

Введите все значения, которые может принимать НОД(n,n+15) для натурального n

(n,n+15)= (n, n+15-n)= (n, 15)

15 делится на 1,3,5 и 15

Ответ 1,3,5 и 15

Введите все значения, которые может принимать НОД(21n−4,14n+3) для натурального n

(21n−4,14n+3) = (21n−4-14n-3,14n+3)= (7n-7,14n+3)= (7n-7,14n+3-2*7n+2*7)= (7n-7,17)

Ответ 1, 17

Найдите НОД чисел 11…11⏟35 и 11…11⏟45

представим 11…11⏟35 как (10 в степени 35 - 1)/9

(10^35-1, 10^45-1)= (10^35-1, 10^45-1-10^35+1)= (10^35-1, 10^45-10^35)= (10^35-1, 10^35(10^10-1))

числа 10^35-1 и 10^35 взаимно простые, поэтому множитель 10^35 можно отбросить

(10^35-1, 10^10-1)= (10^35-1-10^10+1, 10^10-1)= (10^35-10^10, 10^10-1)= (10^10(10^15-1), 10^10-1)= (10^15-1, 10^10-1) = (10^15-1-10^10+1, 10^10-1)= (10^5-1, 10^10-1)= (10^5-1, (10^5-1)(10^5+1))

Итак, общий делитель 10^5-1 это 99999, вспоминаем начало пути и делим его на 9

Но если проще, то ответом будет 10 в степени НОД(35,45) - 1

Ответ 11111

Натуральные числа a и b таковы, что (a,b)=1. Какое наибольшее значение может принимать (a+100b, 100a+b)?

Избавимся от а в правой части

(a+100b, 100a+b)= (a+100b, 100a+b-100(a+100b))= (a+100b, 9999b)

a и b взаимнопростые, поэтому b не является делителем

Ответ: 9999

Остальные задачи курса