Полный перечень всех статей, опубликованных на канале, найдете здесь. Ссылки на четыре предыдущие статьи из цикла «Построение правильных многоугольников» располагаются в этом перечне в разделе «Геометрия. Общие вопросы».
Начну с главного. С помощью двух древнейших инструментов — циркуля и линейки — построить правильный семиугольник НЕЛЬЗЯ. Есть различные доказательства этого утверждения, сложные и не очень. Разбирать их я не буду. Просто покажу, что у нас есть возможность построить приближенную версию правильного семиугольника.
Во всех статьях этого цикла я начинал с рассмотрения соответствующего многоугольника и описанной вокруг него окружности. Так же поступим сейчас.
Предположим, у нас есть правильный семиугольник. Понятно, что центральные углы, разбивающие описанную вокруг этой фигуры окружность на семь равных частей, имеют размер приблизительно 51,43 градуса (360°/7 ≈ 51,43°).
При этом длина стороны правильного семиугольника a выражается через радиус описанной окружности R как
a = 2×R×sin(π/7) = 2×R×sin(180°/7)
Для простоты примем радиус описанной окружности за единицу, тогда численное значение для длины стороны правильного семиугольника с точностью до, скажем, четырех знаков после запятой составляет a ≈ 0,8678.
А если мы рассмотрим численное значение выражения √3/2 ≈ 0,8660 тоже до четырех знаков после запятой, то заметим, что это выражение приблизительно равно длине стороны a. Центральный угол, который отсекает на окружности с единичным радиусом хорду, равную √3/2, в свою очередь, приблизительно равен 51,32 градуса.
Учитывая всё сказанное, попробуем построить циркулем и линейкой семиугольник, который будет приближен к правильному семиугольнику.
Рисуем произвольную прямую. Выбираем на ней любую точку. Принимаем эту точку за центр описанной окружности и чертим окружность заданного радиуса. Строим серединный перпендикуляр на отрезке, ограниченном чёрной и красной точками.
Длина зелёного отрезка в соответствии с теоремой Пифагора равна 0,866R.
Выбрав длину зелёного отрезка в качестве длины стороны семиугольника, построим на окружности три точки в одну сторону от исходной красной точки и три точки в другую сторону.
Соединим полученные красные точки отрезками. Зеленые отрезки имеют длину R√3/2, а красный отрезок больше любого из зеленых в 1,014 раза или на 1,4 %. При этом зеленые центральные углы, которые задают хорды, равные R√3/2, имеют размер 51,32°, а красный центральный угол, отсекающий красный отрезок, равен 52,09°.
Никакой ошибки нет. Хотя выражение 360° - 6 × 51,32° = 52,08° справедливо, еще 0,01° накапливается за счет того, что 51,32° — это приблизительное значение.
Выбрав способ откладывания сторон семиугольника и по часовой стрелке от начальной красной точки, и против часовой, мы получили семиугольник, симметричный относительно исходной прямой.
Если откладывать стороны семиугольника в одном направлении, мы получим большую сторону семиугольника примыкающей к изначальной красной точке. Тогда для построения оси симметрии придется строить срединный перпендикуляр к этой большой стороне.
Еще раз подчеркну. Мы построили семиугольник с шестью равными сторонами и одной осью симметрии. Но эту фигуру нельзя назвать правильным семиугольником.
Чтобы построить правильный семиугольник, только циркуля и линейки недостаточно. Необходимо привлекать инструмент для измерения углов, например, транспортир.
Правда, справедливости ради надо сказать, что с помощью школьного транспортира вряд ли получится точно отмерить углы в 51,43°. Поэтому, возможно, семиугольник, построенный изложенным в этой статье способом, будет более близок к правильному семиугольнику, чем фигура, построенная с помощью транспортира.
На сегодня всё. Удачи вам. Дерзайте.