Полный перечень всех статей, опубликованных на канале, найдете здесь. Ссылки на три предыдущие статьи из цикла «Построение правильных многоугольников» располагаются в этом перечне в разделе «Геометрия. Общие вопросы».
Сегодня с помощью циркуля и линейки построим правильный шестиугольник (гексагон). Способов построения этой фигуры множество. Но стартовых позиций всего две: построение через заданный радиус описанной окружности или через известную длину стороны шестиугольника. Конечно, можно нарисовать гексагон, отталкиваясь от заданного радиуса вписанной в него окружности, но я считаю это частным случаем первого варианта.
Начнем с заданной описанной окружности. Это означает, что нам известен радиус окружности и ее центр. Понятно, что если мы разделим окружность на шесть равных частей и последовательно соединим концы этих дуг хордами, то получим необходимый правильный шестиугольник.
Центральный угол, который отсекает на окружности дугу, равную одной шестой длины всей окружности, должен иметь размер 60 градусов. Ведь 60 это одна шестая часть полного оборота из 360 градусов. Такой угол мы умеем строить. Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусов.
Нарисуем окружность с заданным радиусом. Выберем на окружности произвольную точку. Приняв эту точку за центр синей окружности такого же радиуса, как у исходной окружности, получим две точки пересечения синей и исходной черной окружности.
Рассмотрим два серых треугольника. Все стороны этих треугольников равны радиусу исходной черной окружности. Следовательно, эти треугольники равносторонние и равны друг другу. А зеленые центральные углы исходной окружности имеют размер 60 градусов. То есть три красные точки — это три вершины будущего правильного шестиугольника.
Последовательно построим три дуги, радиус которых равен радиусу исходной окружности. Центром для каждой новой дуги будет являться точка пересечения предыдущей дуги и исходной окружности.
Соединим полученные красные точки. Правильный шестиугольник готов. Построение гексагона по заданной длине его стороны тоже очень простая задача.
Имеем красный отрезок заданной длины. Нарисуем равносторонний треугольник со сторонами, равными длине заданного отрезка. Для этого найдем пересечение двух окружностей, радиус которых равен длине красного отрезка, а центрами окружностей являются концы красного отрезка. Примем синюю вершину серого треугольника за центр окружности с радиусом, равным длине красного отрезка.
Полученная синяя окружность поможет определить недостающие четыре вершины гексагона. Для этого, как и в предыдущем случае, последовательно сделаем на синей окружности четыре отсечки всё тем же размером радиуса, равным длине красного отрезка.
Последовательно соединим полученные красные точки. Правильный шестиугольник готов.
Еще один способ. На заданной окружности выберем произвольную точку. Через эту точку и центр окружности построим прямую. Точки пересечения прямой и исходной окружности примем за центры двух окружностей, которые нарисуем с тем же радиусом, что у исходной окружности. Получим еще четыре точки пересечения синих и черной окружностей.
Последовательно соединим все шесть красных точек. Гексагон построен.
Еще один способ, и на этом, пожалуй, хватит. Задан красный отрезок — сторона правильного шестиугольника. Строим правильный треугольник. Продлеваем его стороны и откладываем на них зеленые отрезки, равные исходному красному отрезку.
Используя каждый из зелёных отрезков для построения ещё двух правильных треугольников, получаем две дополнительные точки..
Соединяем отрезок и четыре красные точки.
На сегодня всё. Удачи вам. Дерзайте.