08. Как найти неизвестную величину: алгебра

В арифметике различные величины (длина. площадь и т.д.) выражаются числами (с указанием соответствующих единиц). Но в некоторых математических задачах число (неизвестную величину) требуется найти. Если сумма двух слагаемых равна 10 и одно из них равно 6, то чему равно другое? Ответ прост: 4, но метод формализации решения является основным методом алгебры.

Чтобы решить данную задачу алгебраически, обозначим неизвестную величину через х. Тогда 6 + х = 10 (алгебраическое уравнение). Вычитая из правой и левой частей уравнения по 6, получаем х = 10 - 6 = 4. Итак, введя неизвестное х, мы решили задачу. Использование буквенных символов вместо чисел и есть основной метод алгебры.

Греческие и арабские математики

Греческие математики, например Диофант (около III в.), использовали в уравнениях буквенные обозначения. Но слово «алгебра» произошло от арабского «аль-джебр», что означает «восстановление кости» (после перелома). Это слово входило в название небольшого сочинения арабского математика Аль-Хорезми. К XVI в. математические задачи были полностью переведены на алгебраический язык-сначала во Франции (Франсуа Виет. 1540-1603). По традиции, установленной французским математиком Рене Декартом (1596-1650), последними буквами латинского алфавита принято обозначать неизвестные, а первыми - известные величины.

Aлгебраические уравнения и формулы

Алгебраические уравнения широко применяются в различных науках, особенно в математике и физике. Например, объем цилиндра определяется по формуле
V = 𝝿r²h, где V - обьем, r - радиус и h - высота цилиндра. Формула представляет собой сокращенную запись выражения «объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту».

Над алгебраическими уравнениями и формулами можно производить действия по определенным правилам. «Изменив» неизвестную в формуле объема цилиндра, мы можем, зная объем, вычислить радиус или высоту цилиндра, например h = V/𝝿r². Эти формулы универсальны: они применимы ко всем цилиндрам независимо от того, высокие они и узкие или короткие и широкие. Аналогичные формулы существуют для площадей и объемов всех наиболее распространенных геометрических фигур.

Многие алгебраические задачи содержат более одной неизвестной. Предположим, требуется найти два положительных числа, произведение которых равно 15, а разность 2. Обозначим их х и у. Тогда информацию о произведении можно записать в виде х • у = 15. Это уравнение допускает много решений: 1 и 15, 3 и 5, 2 и 7,5 и т.д. Запишем теперь информацию о разности чисел: у - х = 2, или у = х + 2. Подставляя правую часть этого уравнения вместо у в первое уравнение, получаем х(х + 2) = 15. или х² + 2х - 15 = 0.

Новое (третье) уравнение содержит только одно неизвестное х. Единственное положительное число, удовлетворяющее этому уравнению, равно 3 (при х = 3 уравнение превращается в тождество 9 + 6 - 15 = 0). Чтобы найти у, подставим значение х в любое из двух исходных уравнений. Из первого находим у = 15/х = 15/3 = 5, из второго у = х + 2 = 3 + 2 = 5. Итак, ответ получен: 3 и 5. На языке алгебры можно сказать, что мы решили систему из двух уравнений.

Объем цилиндра равен V = 𝝿r²h, где r радиус основания, a h-высота. Цилиндры А и Б имеют одинаковые объемы, хотя их радиусы и высоты сильно отличаются. Диаметр одного иилиндра почти равен высоте другого: h ≈ 2r, 2R ≈ Н. Объем иилиндра В равен V. При увеличении высоты иилиндра вдвое, его объем удваивается (Г): VВ = 𝝿r²h, VГ = 2𝝿r²h. При удвоении же радиуса объем иилиндра возрастает в 4 раза (Д) VД = 𝝿(2r)² h = 4𝝿r²h. Алгебра позволяет предсказывать все эти изменения.

Уравнение в алгебре это «весы» с уравновешенными чашами. Все члены левой части уравнения вместе равны всем членам правой, как вес предметов на одной чаше уравновешенных весов равен весу предметов на другой чаше (А). При упрощении уравнения над его правой и левой частями должны производиться одни и те же операции. Например, из каждой части уравнения можно вычесть по Зх (Б). Вычтя из каждой части по у, мы еще более упростим уравнение (В). После этих преобразований исходное уравнение Зх + 5у = 4х + 2у сведется к Зу = х. Обе части уравнения можно умножать и делить на одно и то же число.

Дома на улице пронумерованы по порядку от центра города. Один житель заметил, что если номер его дома умножить на 4, то получится число на 10 больше утроенного номера следующего дома. Каков номер дома этого человека? Обозначим его х, тогда (х + 1) - номер соседнего дома и 4х = 3(х + 1) + 10 = Зх + 3 + 10. Вычитая из обеих частей уравнения по 3x, получаем х = 13. Итак, человек живет в ломе номер 13, а его сосед - в доме номер 14.

Алгебраические уравнения можно представлять в виде кривых. Здесь графики описываются уравнениями ху = 15 и у = х + 2. Если эти уравнения рассматривать как систему, то они выполняются в точках пересечения линий. Когда уравнение прямой записано в виде у = mx + с, где m и с - числа, m задает тангенс угла наклона прямой (в нашем примере m - 1).

Если точки пространства задавать их расстояниями от осей х и у, то алгебраические уравнения приобретают новый смысл. Например, уравнение
х-у = 15 описывает кривую, для всех точек которой произведение расстояния от оси х на расстояние от оси у равно 15. Уравнение у = х + 2 описывает прямую, координаты всех точек которой удовлетворяют этому уравнению.

Начертив эти кривые (в математике даже прямую считают «кривой»), мы убидим, что они пересекаются в точке, отстоящей на 3 единицы от оси х и на 5-от оси у. Такую точку принято обозначать (3,5). Графический метод решения уравнений дает в точности тот же результат, что и чисто алгебраический. Из графика также видно, что кривые пересекаются и в точке х = -3, y = -5. Однако это решение не удовлетворяет условиям задачи (требовалось найти два положительных числа).

Представлением алгебраических уравнений в виде кривых на плоскости с осями координат занимается аналитическая геометрия - область математики, в которой алгебра тесно переплетается с геометрией.

Алгебра позволяет решить многие головоломки и парадоксы. Всякое трехзначное число, у которого средняя цифра равна сумме двух крайних цифр, делится на 11. Почему? Алгебра позволяет без труда решить эту задачу.

Алгебраическое «равновесие»

Приведенные примеры показывают, как легко справляется алгебра с решением задач, в особенности с преобразованием уравнений. Однако при этом необходимо соблюдать некоторые правила. Если в уравнение входят два неизвестных х и у, то его можно упростить, перенеся все члены с х в одну часть уравнения, а члены с у-в другую. Достичь этого можно, прибавляя к обеим частям уравнения или вычитая из них равные величины.

Трехзначные числа в этой таблице обладают двумя общими свойствами: их средняя цифра равна сумме крайних и все они делятся на 11. Если x первая, у последняя цифра, то средняя цифра равна х + у, а все число 100x + 10(х + у) + у, а после упрощения и разложения на множители: 11 (10x + у). Такова общая формула всех чисел таблицы.

Древним математикам не удалось решить задачу о квадратуре круга-построить квадрат, равный по площади данному кругу. Эту задачу помогает решить алгебра. Площадь круга радиусом г равна 𝝿r1, площадь квадрата со стороной х равна х². Так как они равны. 𝝿r²= х², откуда х = r√𝝿. Если r = 10, то x ≈ √314,2. Квадрат со стороной 17,72 см имеет почти такую же площадь, как круг радиусом 10 см.

По секундомеру лаборант измеряет скорость заполнения ведра жидкостью (А) (обьем ведра калиброван в литрах, шкала нанесена изнутри на стенку ведра). Результаты измерений записаны в таблице (Б). Сколько жидкости вытечет за 5 мин? Чтобы ответить на этот вопрос, можно построить график (В) зависимости объема (л) от времени (мин). Из графика видно, что за 5 мин в ведро натечет 3 л жидкости. График оказался прямой линией, т. е. скорость истечения жидкости была постоянной. Прямая проходит через начало координат, где обе переменные обращаются в нуль. В общем виде уравнение такой прямой у = mх, где m- тангенс угла наклона прямой. В нашем примере он равен 3/5. поэтому уравнение имеет вид у = Зх/5, или 5у = Зх. При вычислении объема жидкости, вытекающей за определенное время, или времени, за которое вытечет заданный объем жидкости, вместо трафика можно пользоваться этим уравнением.

Ключ. Арифметика имеет дело с численными величинами - это, например, число людей в толпе, Алгебра решает задачи и с неизвестными величинами в общем виде обозначаемыми через х. В частности, х может означать число людей в толпе.