09. Математические кривые

Всякий, кто способен поймать на лету мяч, имеет интуитивное представление о математических кривых и их преобразованиях в пространстве. Брошенный мяч описывает кривую, близкую к параболе. и многие спортсмены способны предугадать место приземления мяча, когда тот еще только поднимается в воздух. Оценить на глаз, куда попадет мяч. не так-то просто. Мяч на длинной резинке, который используют для тренировки теннисистов, почти невозможно поймать, даже если он пролетает близко и движется медленно: такой мяч описывает кривую, отличную от параболы, и «параболические» рефлексы не срабатывают.

Кривые, уравнения и законы

Системы наведения и управления артиллерийским огнем должны «предсказывать» кривые так же, как это делает спортсмен. Поскольку они не обладают его интуицией, их снабжают быстродействующими ЭВМ, которые вычисляют траекторию снаряда, представляя ее в виде математического уравнения. Математика точная наука, и под математической кривой понимают кривую, допускающую точное определение. Оно не обязательно выражается уравнением, в некоторых случаях неформальное описание дает более ясное представление о форме кривой. Например, определение окружности как кривой, все точки которой равно удалены от данного центра, понять легче, чем ее определение как кривой, задаваемой уравнением х² + у² = R².

Математика позволяет перевести словесное определение в соответствующее уравнение, выполняющееся для всех точек кривой и не выполняющееся для остальных точек. Свойства кривой легче установить, оперируя символами, а не геометрическими образами. Когда Томас Телфорд (1757-1834) строил в 1826 г. подвесной мост через пролив Менай в Уэльсе, форму цепей он находил, производя измерения на большой модели, сооруженной над сушей,-печальное следствие математической неграмотности. Современный инженер может вывести уравнение троса, поддерживающего мост, и найти из уравнения все. что требуется, не прибегая даже к чертежу.

С математическими законами и математическими кривыми мы встречаемся повсюду. Свободно отпущенный камень падает по прямой, брошенный под углом к горизонту описывает параболу. Луна и искусственные спутники движутся почти по эллипсам. Солнце и Земля имеют почти сферическую форму, поверхность покоящейся жидкости почти плоская-все это следствия закона тяготения. Радуга изгибается по дуге окружности, блик на поверхности освещенной солнцем чашки имеет форму острия - это обусловлено законами оптики. Когда люди замечают подобные явления или проводят эксперимент, позволяющий наблюдать их, они открывают научные законы, объясняющие эти явления. Чаще всего ученый обнаруживает математические кривые, только когда вычерчивает их по полученным данным. Уравнение кривой говорит ученому о том, какой «закон» он открыл своим экспериментом.

В природе некоторые тела принимают форму сферы под действием приложенных к ним сил, поскольку это форма «наименьшего сопротивления». Капельки воды и мыльные пузыри имеют форму сферы, потому что поверхностное натяжение стремится минимизировать площадь поверхности тела. В старину свинцовую дробь отливали, капая расплавленный свинец с большой высоты в чан с холодной водой. За время падения капли расплавленного свинца застывали в виде шариков и охлаждались настолько, что сохраняли форму при ударе о воду.

Чтобы записать уравнение математической кривой, необходимо провести две взаимно перпендикулярные прямые - оси х (Ох) и у (Оу). Тогда каждую точку на плоскости можно задать, указав для нее значения х и у. Например, для точки Q х = 0,7; у = 1.15, а для точки Р х = 1,9; у = 0,5. Для любой точки, лежащей на прямой А, сдвит по оси х равен сдвигу по оси у, т. е. х = у. Это и есть уравнение линии А как математической кривой. Оно выполняется для любой ее точки и не выполняется ни для одной точки вне ее. Прямая С имеет уравнение у = 2х (ей принадлежит точка S с х = 1, у = 2), а уравнение прямой В у = 0,8.

Уравнение окружности мы найдем, заметив, что каждую ее точку можно рассматривать как вершину прямоугольного треугольника с катетами х и у и гипотенузой R. По теореме Пифагора x² + y² = R². Для точек вне окружности х² + у² больше R², а для ючек внутри окружности - меньше R². На границие внешней и внутренней областей достигается равенство x² + y² = R². Замкнутые математические кривые делят плоскость на внутреннюю и внешнюю области.

Важное семейство кривых возникает при сечении конуса плоскостью под различными углами. При горизонтальном сечении получается окружность (1), при наклонном - эллипс (2). Сечение, параллельное образующей конуса, дает параболу (3), при большем наклоне -гиперболу (4). Все сечения описываются общим уравнением ах² + by² + 2hxy + + 2gx + 2fy = с. При h² > ab это гипербола, при h² = ab - парабола и при h2 < ab - эллипс (окружность - частный случай эллипса, соответствующий h = 0, а = b). При b = с = h = g = 0, а = 1 и 2f = 1 уравнение конических сечений принимает вид у = х². Это - уравнение параболы, так как h² = ab(h² = 0, ab = 0).

Математическую поверхность можно задать по аналогии с кривой в системе координат в пространстве. Уравнение сферы х² + y²+ z² = R². Для точек вне сферы х² + у² + z² больше R², для точек внутри сферы х² + у² + z² меньше R². На границе внешней и внутренней областей х² + у² + z² «уравновешивает» R². Уравнение вида х² + у² + z² - 2x - 8z + 17 = R² также описывает сферу, но центр ее не совпадает с пересечением трех осей.

При вращении параболы вокруг оси симметрии возникает математическая поверхность - параболоид. Под действием силы тяжести и центробежной силы поверхность равномерно вращающейся жидкости принимает форму параболоида. Параболоид вращения - идеальная форма лля зеркал оптических и радиотелескопов. Для изготовления параболическою зеркала чашу, заполненную пластической массой, приводят во вращение и, после того как масса затвердеет, ее поверхность покрывают тонким слоем металла.

Из теории в практику

Математические кривые и поверхности встречаются во всех областях человеческой деятельности. Например, линзам придают сферическую форму не потому, что это идеальная оптическая форма (хотя она достаточна хороша), а потому, что сферические линзы легче обрабатывать. Сферическая поверхность - единственная из поверхностей, которая сохраняет форму и кривизну независимо от того, как она повернута. Следовательно, трущиеся поверхности, мягкая и твердая, поворачивающиеся то в одну, то в другую сторону, после притирки становятся сферическими, так как только такая форма обеспечивает точную подгонку поверхностей. Таким образом, для получения сферических поверхностей достаточно простого шлифования. Изготовить несферические линзы гораздо труднее, чем сферические.

Цилиндрические тела (трубы, стержни, болты) и отверстия распространены так широко потому, что цилиндрическую поверхность легко изготовить на станках с вращающейся рабочей частью. Бойлеры и котлы высокого давления имеют форму цилиндров, поскольку эта форма обладает большим сопротивлением давлению. Градирни имеют седлообразную форму гиперболоидов, которая хорошо выдерживает свой собственный большой вес и ветровую нагрузку. Духовые инструменты имеют экспоненциально расширяющийся раструб, что наилучшим образом способствует направленному распространению звуковых колебаний.

Эстетика и математика

Градирня, трубы духового оркестра, арки мостов и зеркала радиотелескопов имеют формы, хорошо известные в математической физике. Все они, как и другие инженерные сооружения, обладают эстетической привлекательностью, порой недостающей архитектурным сооружениям и автомобилям, облик которых лишен математической завершенности. Та же интуиция, которая помогает человеку воспринимать математические кривые, позволяет ему поймать летящий мяч.

Все конические сечения (А) обладают «зеркальными» свойствами. Эллипс имеет два фокуса: F и F'; световые лучи, выходящие из одного фокуса, сходятся в другом (A, a). Окружность - это эллипс, фокусы которого слились в одну точку - центр окружности; световые лучи, выпущенные из него, после отражения вернутся (В, b). Парабола - это эллипс, один из фокусов которого удален в бесконечность. Световые лучи, испущенные из «оставшегося» фокуса, после отражения идут параллельно оси параболы (С, с). Гипербола отражает лучи, исходящие из фокуса F, так, как если бы они шли из фокуса F". Туннели парижского метро имеют в сечении почти эллиптическую форму (Б).

Многие живые существа растут так сложные процены: чем больше они становятся, тем быстрее растут. Моллюск наутилус, который водится в Индийском и Тихом океанах, непрерывно увеличивает свою раковину по спирали. Это природная «логарифмическая спираль», обладающая интересным свойством: все лучи, выходящие из центра, пересекают ее под одним и тем же углом.

Точка, движущаяся вокруг центра так, что расстояние возрастaeт пропорционально углу поворота, описывает архимедову спираль. Винтовая линия - это кривая, которую описывает на поверхности цилиндра точка, если пройденное ею расстояние пропорционально углу поворота. Архимедову спираль и винтовую линию можно вырезать автоматически, подводя резец к торцу или боковой поверхности вращающейся детали соответственно.

Точка на ободе катящегося колеса описывает циклоиду (А). Эта математическая кривая привлекала внимание многих ученых. Галилей предложил строить каменные мосты с арками в форме циклоиды; Ньютон доказал что кривая быстрейшего спуска по форме совпадает с перевернутой циклоидой. Колесо, катящееся по другому колесу, порождает эпициклоиду (Б). Чтобы зацепление шестерен происходило без «щелчков», зубья должны иметь определенный профиль. Идеальная форма - эпициклоида, построенная на внутренней окружности. Точка на ободе колеса, катящегося изнутри по друюму колесу, описывает гипоциклоиду. Она также применяется при проектировании шестерен.

Ключ. Три моста через реку Тайн - это математические кривые в действии. Их арки по форме близки к параболам. Парабола - идеальная форма для арки, вес которой пренебрежимо мал по сравнению с весом железнодорожного полотна. При проектировании мостов необходимо учитывать и вес арок.