Итак, поговорим о задачах на концентрацию.
Рассматривать их будем в первую очередь с позиции частного преподавателя и лишь для 8-11 классов.
Для коллег, которые работают с 6-7 классами в школе, многие советы будут неактуальными.
Задачи на концентрацию – это, пожалуй, самый трудный тип текстовых задач.
Как правило, средний старшеклассник, который готовится к профильному ЕГЭ, может помнить как решаются стандартные задачи на движение и на производительность. Но при этом задачи на концентрацию могут получаться у него далеко не всегда.
Здесь такая закономерность: если ученик умеет решать задачи на концентрацию, то почти всегда он умеет решать задачи на движение и производительность. И это несмотря на то, что это вроде бы не связанные темы. В обратную же сторону подобное не всегда работает.
Трудность задач задач на концентрацию связана с тем, что она сама опирается на сложную тему Проценты.
Задачи на проценты хуже алгоритмизируются из-за того, что приходится иметь дело с относительными величинами. То есть проценты не бывают в вакууме, они всегда считаются от чего-то.
В итоге средний ученик 8-11 класса гораздо чаще решает квадратное уравнение, чем решает простую задачу на концентрацию. Хотя эту тему проходят по большей части в 6-7 классах, а КУ лишь в 8 классе.
Это, кстати, ещё одна общая трудность для текстовых задач. Они банально забываются к 10-11 классу.
Отсюда следует и стратегия работы с учеником в этой теме.
Сначала нужно разобраться, что мы делаем: вспоминаем то, что он уже хорошо знал? с чистого листа рассматриваем эту тему? или вовсе переучиваем ученика, который ошибочно думает, что умеет решать такие задачи?
Чтобы ответить на эти вопросы, на первом занятии по этой теме я обычно задаю две задачи.
Для крепких учеников прошу решить самую сложную задачу из банка ФИПИ:
«Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?»
Тут возможны разные сценарии.
Если ученик решает её правильно, то это означает, что в целом он эту тему знает. Максимум, что ему нужно, это показать нюансы стандартных ЕГЭшных задач.
Например, в этой задаче есть элегантный способ сократить вычисления в системе линейных уравнений. Вместо того, чтобы раскрывать скобки и решать по алгоритму в лоб, можно вычесть из одного уравнения другое и быстро выразить одну неизвестную через другую.
Это тоже важный индикатор: насколько ученик открыт к идеям, которые упрощают вычисления.
Если ученик не испытывает трудностей с самой сложной задачей, то мы на занятии просто быстро пробегаем по всем стандартным задачам. Изредка для разнообразия я даю их некоторые вариации, которые есть в сборниках, но нет в Банке.
Если же ученик не может её решить, то нужно смотреть, почему именно. Иногда он в целом умеет решать подобное, но просто забыл какие-то детали.
Однако часто ученики даже не могут приступить к её решению, т.к. слишком длинное условие, много чисел и вообще не понятно, с какой стороны за неё взяться.
В таких случаях я предлагаю решить следующую задачу:
«В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?»
Кстати, когда я вижу, что у ученика есть трудности с текстовыми задачи или когда он мне сам говорит, что с задачами на концентрацию у него всегда были проблемы, то я начинаю именно с этой задачи.
Первое громоздкое ФИПИшное задание, которое упомянуто выше, обычно даже не показываю на этом этапе – незачем зря пугать школьника...
И вот по этой задаче можно понять, насколько ученик знаком с понятием концентрация.
Если ученик начинает решение со слов «ну для начала нужно нарисовать табличку...», значит он не понимает, как решать задачи на эту тему и нужно его учить фактически с нуля.
А точнее переучивать, т.к. эта фраза означает, что он не видит сути и застрял в бессодержательных табличках и схемах.
В общем, если ученик и с этой задачей не справляется, то нужно стартовать полноценный цикл обучения решению задач на концентрацию. Причём существенную часть из отведённого времени нужно будет посвятить арифметическому методу решения задач и лишь потом переходить к составлению уравнений.
А начинать нужно с такой задачи:
«25 г чистого спирта растворили в 100 г воды. Найдите концентрацию полученного раствора»
Если ученик отвечает, что 25%, то можно спросить «а если 100 г спирта растворили в 100 г воды..?» и наблюдать за реакцией.
Обучение начинается с сомнения...
В общем, не буду здесь перечислять все задачи, которые мы обычно с учеником разбираем. На персональных занятиях с педагогами мы всё подробно обсуждаем и прорабатываем.
Остановлюсь лишь на общих принципах.
1. Важно, чтобы школьник предварительно умел работать с процентами. То есть нужно, чтобы школьник осознавал, что процент – это просто иная форма записи доли 1/100. И чтобы соответственно умел решать задачи на сведение к единице.
2. Если ученик умеет решать задачи на концентрацию только через пропорцию, то его нужно срочно переучивать и переключать на работу с десятичными дробями. Без этого дальнейшее обучение бесполезно.
Можно, конечно, ограничиться парой задач, которые ещё можно победить пропорцией, но это крайний случай. Это срабатывает лишь тогда, когда нет времени на полноценное обучение, когда нужно отщипнуть хоть какие-то баллы, чтобы перейти порог, и когда у ученика хорошая память для заучивания схем решения без понимания.
3. Для концентрации есть три взаимозаменяемые формулы:
а) определение концентрации через отношение массы чистого вещества к массе всего раствора;
б) подсчёт массы чистого вещества через произведение концентрации на массу раствора;
в) нахождение массы раствора через деление массы вещества на концентрацию.
Несмотря на то, что вроде бы именно определение концентрации выглядит самой важной формулой среди трёх, для решения задач более актуальна именно вторая формула.
Здесь мы руководствуемся принципом: при прочих равных умножение лучше деления.
4. Отсюда следует, что предпочтительнее работать именно с чистым веществом и собирать уравнения именно через эту величину.
5. «Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?»
В этой и подобных задачах, где упоминается подсушенная еда, мы тоже работаем в первую очередь с сухим веществом.
Но из-за особенностей русского языка школьники порой путают сухие грибы и сухое вещество в грибах («а как в сухих грибах остаётся вода?»).
Можно, конечно, выкрутиться и называть сухое вещество, например, «абсолютно сухие грибы/фрукты», но всё равно возникает путаница.
Я же рекомендую для сухого вещества использовать термины «грибной порошок», «изюмный порошок», «фруктовый порошок». Обычно такая метафора лучше работает для полностью сухого вещества.
А на потенциальные вопросы вроде «разве в сухарях есть влажность?» можно привести пример только что купленных сухарей. В них есть немного влаги, поэтому их как-то ещё можно есть. Но залежавшиеся сухари, которые из-за отсутствия влаги стали «деревянными», даже грызть тяжело. То есть даже у сухарей влажность/сухость может быть разной.
6. Обязательно рассмотреть парадоксальную задачу на концентрацию:
«Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда их подсушили, то влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после того, как их подсушили?»
Она нужна не только в качестве закрепления задач на подсушивание, но и в качестве небольшого отвлечения. Ведь итоговый результат с первого взгляда вообще не очевиден...
7. Если есть время, то на всякий случай с некоторыми учениками решаю несколько несложных задач на изменение процентного содержания вроде таких:
«В соляной раствор, содержащий 60 г воды, добавили 20 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 5%. Сколько граммов соли содержит раствор?»
Их нет в базе ФИПИ и в сборниках, но они являются частью общего поля задач на концентрацию, поэтому полезно их тоже изучить со школьниками.
Правда и тут есть нюансы.
Например, такой отрывок из задачи: «концентрация первого раствора 40%, концентрация второго на 20% больше». Вот эта новая концентрация равна 60% или 40%*1,2=48%?
То есть если концентрацию х увеличили например на 20%, то получилось x+0,2 или всё же x⋅1,2?
В задачах по умолчанию принимается первый вариант, но всё равно двоякая трактовка может смутить.
И возможно, именно из-за такой неочевидности в условиях подобные задачи не используют на ЕГЭ.
8. При индивидуальной работе с учеником для стандартных задач лучше не использовать таблички. Они лишь уводят ученика от сути и замещают реальное понимание графической компоновкой данных.
Это важно и идёт в разрез с общепринятым подходом, поэтому будет отдельный пост на эту тему.
Таблички работают лишь когда данных становится слишком много. Например, в лихо закрученных олимпиадных заданиях.
9. Случается, что школьник не готов переучиваться и цепляется за привычные методы решения: «Я буду решать только через пропорцию крест-накрест и вверх-вниз. С предыдущим репетитором и в школе мы только так решали и всё получалось».
Если школьника не удаётся переубедить в необходимости использования десятичных дробей, то возможно стоит переключиться на другие типы задач.
А в некоторых особенных случаях, возможно, стоит признать, что занятия неэффективны и цели недостижимы, и отказаться от занятий. Абсурдно, когда ученик хочет научиться решать сложные задачи на концентрацию (а далее ещё и экономические задачи), но только своим нерабочим способом.
10. С точки зрения общей тактики подготовки к ЕГЭ лучше изучать задачи на концентрацию непосредственно перед экономической задачей второй части.
Перед тем, как школьник приступит к заданиям на кредиты и депозиты, именно задачи на концентрацию помогают ему всесторонне освежить тему работы с процентами.
Дальше останется только усилиться задачами на цепочки («Цена товара сначала увеличилась на 10%, потом на 10% уменьшилась. Насколько изменилась цена?») и можно переходить к экономической задаче.
Если ученик же не может осилить задачи на концентрацию, то как правило он не может даже приступить к изучению экономической задачи. У него нет нужной базы.
11. В прошлом посте в ВК я перечислил источники для своей подборки задач на концентрацию.
В основном там упоминаются разные сборники вступительных экзаменов в вузы. До внедрения ЕГЭ задачи на концентрацию были более разнообразными и востребованными.
Среди всех сборников задач отмечу знаменитые задачники 57 школы. Именно их я использую, когда мне нужно дать школьникам чуть больше несложных, но разноплановых задач на концентрацию. Особенно когда требуется прорешать много задач арифметическим методом.
Коллегам также рекомендую посмотреть ещё сборники именно текстовых задач:
а) «Задачи на составление уравнений и методы их решения» (Крамор В.С.);
б) «Текстовые задачи» (Раскина И.В., Блинков А.Д.);
в) «Текстовые задачи по математике. 5-6 класс.» (Шевкин А.В.).
Для моей подборки эти задачники были не так полезны, но, возможно, вы что-то интересное сможете для себя в них найти.
12. И, наконец, задачи на концентрацию и подготовка физмат школьников.
Львиная доля задач в моей подборке лежит вне пределов подготовки к ЕГЭ и нужна скорее для более сильных школьников.
Эти задания я вынес в большой раздел «Углубленная концентрация».
Чаще всего такие задачи встречаются в школьной программе физмат школ, во вступительных экзаменах в эти физмат школы, а также в перечневых олимпиадах.
После усложнённых задач на составление уравнений, с продвинутыми школьниками желательно разобрать три подтемы: «Многократные переливания и доливания», «Несколько сплавов (три и более)», «Многокомпонентные сплавы и растворы».
По опыту могу сказать, что школьники-олимпиадники с неохотой берутся за такие задачи.
Всё-таки чисто математического в них не очень много. Максимум – аккуратно разобраться в построении модели и решить несложную систему линейных уравнений.
Однако и игнорировать такие задачи не следует.
Вот недавний пример из ОММО, где под концентрацию маскируется задача на линейное программирование:
«На заводе имеются в достаточном количестве три сплава титана, алюминия и молибдена. Все сплавы с примесями. Процентное содержание компонентов в этих сплавах приведено в таблице.
- - - - - - - - - - 1 2 3
Молибден 8% 3% 8%
Титан 36% 21% 6%
Алюминий 55% 76% 15%
Из этих сплавов необходимо приготовить новый сплав, в котором алюминия должно быть не больше 38%, а молибдена — не меньше 5%.
Какое наибольшее и какое наименьшее содержание титана (в процентах) может быть в этом сплаве?»
Сравните её, например, с задачей из сборника Ткачука:
«Имеются три сплава. Первый сплав содержит 60% алюминия, 15% меди и 25% магния; второй – 30% меди и 70% магния; третий – 45% алюминия и 55% магния. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 20% меди. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание алюминия может быть в этом новом сплаве?»
Они, конечно, не совпадают полностью, но тем, кто прорешал похожу задачу из сборника, на самой олимпиаде было гораздо проще.