Это вторая статья с разбором задания 22 на построение функций. Сейчас поговорим о модуле. В первой мы разобрали кусочно-заданную функцию. Если вы ещё не, то летите по ссылке и разбирайте прежде, чем продолжить чтение тут. А всё потому, что при построении модуля мы будем использовать некоторые "кусочные" приёмы.
Итак,
постройте график функции y=x²+14x−3|x+8|+48 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
График такой функции строится универсальным приёмом. О чём это я? Для модуля есть 3 типа заданий. К примеру, когда функция f(x)=∣x² +2x-5∣, то есть модуль "накрывает" всю функцию целиком, мы можем использовать приём построения функции |f(x)| из функции f(x). В этом случае, вся та часть графика, которая находится ниже оси Ox, симметрично отображается относительно Ox вверх. К примеру, был вот такой график у функции f(x)=x² +2x-5
Тогда график |f(x)| будет выглядеть так
Второй приём - это когда мы строим график f(|x|). То есть когда под модулем только аргумент. К примеру, такой функцией для нашего случая может быть y= x²+2|x|-5. В этом случае, всё что относится к положительному x, зеркально отображается в левую полуплоскость.
Но если, после этих 2 абзацев, всё что вам захотелось сказать,
то мы забьём на эти 3 способа и сосредоточимся на универсальном, таком который подходит для построения любого графика с модулем.
Напоминаю. Наша функция y=x²+14x−3|x+8|+48. И начальная задача сводится к тому, чтобы раскрыть и избавиться от модуля. Полагаю, что если вы добрались до графика модуля, то с ним работать умеете. Если нет, то пишите в комментариях - буду делать отдельную статью.
Нам надо понять на каких интервалах подмодульное (то есть то, что внутри) выражение положительно, а для каких отрицательно. Там где оно положительно, модуль раскроется с плюсом (то есть просто его уберём), там где отрицательно - поставим перед всем выражением минус и тоже уберём.
Точка перемены знака |x+8| это -8. То есть модуль раскрывается с плюсом, если x≥-8 и с минусом, если x<-8.
Запишу это в виде системы:
В первом случае, все знаки остались как они были, а во втором, знак перед скобками (там где раньше был модуль) поменялся на противоположный. Преобразуем
Фигасе. Почти кусочно заданная функция. Что делать? Ну так мы это уже прошли ранее. Здесь у нас плоскость разбивается на 2 зоны (граница x=-8), в каждой из которых строим свой график.
Первое построение.
x<-8 (фиолетовая зона). y=x²+17x+72. Графиком является парабола, a=1>0, значит ветви вверх. Найдём координаты вершины:
Тогда вершина (-8,5;-0,25). Ну и обычно берут точки пересечения с осями.
С Оy (x=0) точка будет (0;72) (мы её не возьмём, строить 72 по ординат я не хочу уж точно )
С Ox (y=0) точки будут (-8;0) и (-9;0). (ищем решая квадратное уравнение). Годно.
Возьмём дополнительные опорные точки и составим таблицу для построения.
Наносим точки на плоскость и строим. Строим только в нашей зоне! На вторую не заходим.
Второе построение.
x≥-8 (розовая зона). y=x²+11x+24. Графиком является парабола, a=1>0, значит ветви вверх. Координаты вершины (-5,5;-6,25). Точки пересечения с осями:
С Оy (x=0) точка будет (0;24) (ну её). С Ox (y=0) точки будут (-3;0) и (-8;0). Берём.
Возьмём дополнительные опорные точки и составим таблицу для построения.
Для построения параболы положено брать не менее 5 точек. Поэтому, даже если мы можем построить и с меньшим количеством, для комиссии в таблицу заносим 5 точек.
Строим в розовой зоне никуда не выходя. В отличии от кусочно-заданной функции здесь исключены ситуации разрывов функции. Она будет единой.
Ну всё. Убираем зоны, границу и вот что получилось
Такой рисунок должен быть у вас в чистовике. Обратите внимание, что координаты всех взятых точек должны быть на шкалах. Ну и единичный интервал, оси тоже конечно же отмечены.
Остался второй вопрос задачи
при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Мы уже разбирали как это делать в кусочной функции. Так что повторю здесь коротко^
y=m - это прямая параллельная Ox. Строим и двигаем снизу вверх.
У этой прямой не будет никаких точек пересечения с нашим графиком до вершины одной из парабол, то есть до у=-6,25. Тут будет одна точка пересечения. Двигаем дальше вверх и тут уже их 2, пока не добрались до второй вершины. у=-0,25. И тут их уже 3. Запомнили. Двигаемся дальше и их уже 4. Пока одна из парабол не обрывается. Это у=0. И тут их опять 3. Ну а дальше их 2 и уже до бесконечности.
Оформим это всё по правильному:
- Если m∊(-∞;-6,25), то прямая y=m не имеет точек пересечения с графиком нашей функции
- Если m=-6,25, то прямая y=m имеет 1 точку пересечения с графиком нашей функции
- Если m∊(-6,25;-0,25)∪(0;+∞), то прямая y=m имеет 2 точки пересечения с графиком нашей функции
- Если m=-0,25 или m=0, то прямая y=m имеет 3 точки пересечения с графиком нашей функции
- Если m∊(-0,25;0), то прямая y=m имеет 4 точки пересечения с графиком нашей функции
Ответ: Если m=-0,25 или m=0, то прямая y=m имеет 3 точки пересечения с графиком нашей функции
Надеюсь, мне удалось максимально понятно объяснить эту действительно сложную тему. Если остались вопросы и пожелания с удовольствием на них отвечу.
Подпишитесь, чтобы не пропустить новый материал. И не забывайте - палец вверх вдохновляет автора на написание новых статей. )
Ну и конечно же попробуйте применить всё на практике. А вот и задание. В комментариях пишите ваши значения для m:
Задание 1.
Постройте график функции y=x|x|+2|x|−3x. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.