С этой статьи я начну разбор одного из самых сложных для учеников задания на ОГЭ - графики функций с развёрнутым ответом, которое идёт во второй части. На 2025 это задание №22.
Это задание даётся с трудом даже для отличников общеобразовательных классов. Поэтому разбор его займёт ни одну статью. Мы поговорим о всех типах заданий, разберём как каждое решать, как отвечать на дополнительный вопрос и что не менее важно, как это оформлять. Потому что историй, как за полностью верно решённое задание было получено 0 баллов очень много.
Но прежде чем приступать к разбору этого задания убедитесь, что Вам абсолютно всё понятно в базовом задание на функции (задание 11). Если есть сомнения, то вот тут есть статьи на эту тему с разборами:
Итак на 2025 в банке ФИПИ предложены следующие типы заданий на построение:
- Кусочно-заданная функция
- Модули
- Парабола с выколотой точкой
- Гипербола с выколотой точкой
- Модуль с выколотой точкой
Помимо построения, во всех заданиях необходимо ответить на дополнительный вопрос. Обычно про пересечение прямой y=m с построенным графиком. Реже про пересечение с прямой y=kx
В этой статье мы разберём построение кусочно-заданной функции.
Итак, наше задание из банка ФИПИ 2025
Постройте график функции:
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Что это? Спросят многие. Тем, кто занимался по учебникам Мордковича повезло чуть больше. Они такое видели. Для всех остальных попробую объяснить с нуля.
Итак, у нас функция, которая принимает вид трёх разных функций, в зависимости от того, какой x мы берём. То есть при x до 1 что-то одно, от 1 до 4 другое и от 4 и дальше третье. По сути это нам разбивает координатную плоскость на 3 части:
- x<1 (синяя зона)
- 1⩽х⩽4 (зелёная зона)
- x>4 (розовая зона)
Будем строить график в каждой из этих зон отдельно.
Первое построение.
x<1 (синяя зона). Согласно заданию при x<1 y=4x-5. Это линейная функция. Графиком является прямая. Для построения прямой нам необходимы 2 опорные точки (но рекомендуется брать 3, чтобы избежать ошибок построения)
Возьмём любые симпатичные нам значения x. Я выбрала x=0 и x=-1 и обязательно берём крайнюю точку нашего интервала х=1, не забывая, что она нашему интервалу не принадлежит (т.к. неравенство строгое x<1). Составляем таблицу. На графике отмечаем получившиеся точки, не забывая, что непринадлежащая точка (1;-1) отмечается выколотой, и проводим через них прямую. Не забывайте, что прямая должна быть только в нашей синей зоне.
Второе построение.
1⩽х⩽4 (зелёная зона). Согласно заданию при x∈[1;4] y=-2,5x+5. Это тоже линейная функция. Графиком является прямая. Поэтому для второго построения нам нужно всё тоже самое, что для первого. Разница лишь тут, что крайние точки принадлежат этому интервалу. Их взять обязательно. Поэтому беру: x=1 и x=4, ну и пусть будет x=2 . Составляем таблицу, отмечаем точки.
Опять же не забывайте, что за пределы зелёной зоны эта наша прямая не выходит! И важно всегда проверять концы. Так как у нас точки при х=1 и при х=4 принадлежат этому графику, на графике они закрашены.
Третье построение.
х>4 (розовая зона). Здесь наша функция y=x-9. И опять линейная функция. Берём точки x=4 (выколотая, обязательно), ну и 2 любые ещё - x=6 и x=9 . Составляем таблицу, отмечаем точки, проводим прямую.
Важный момент - так как при построении зелёной и розовой прямых не произошло разрыва, то есть они соединились в точке х=4, то на графике мы не делаем акцента на этой точке - график просто из одного куска переходит в другой. А вот между синей и зелёной это очень важный момент, так как там разрыв. И без этих отметок (выколотая и вколотая точка) будет непонятно значение функции при х=1
Ну вот собственно по построению и всё. Финально у вас должен быть вот такой график:
Обязательно отмечены координаты всех точек, которые вы использовали, помечены выколотые и вколотые.
Теперь можно приступить ко второй части задания. Напоминаю:
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
y=m? Что это за штука? Вспоминаем 7 класс. Да это прямая параллельная Ох! Значит что нужно сделать - нарисовать прямую параллельную Ох и в уме подвигать её в поисках таких значений по y, при которых будет 2 точки пересечения с нашим графиком. Так как мы смотрим всегда от меньшего к большему, то и двигать будем снизу вверх.
Попробую коротко описать словами наши действия: Итак, наше первое положение 1. Здесь у нас одна точка пересечения с нашим графиком. Не годится. Двигаем ↑. В положении 2 у нас появляется вторая точка пересечения. Годно. Что это за положение? y=-5. Запомнили. Двигаем дальше ↑. Всё сломалось и тут уже 3 точки пересечения. Отстой. Продолжаем двигаться. Мы в положении 4. И вот смотрите как важно, что здесь есть инфа про выколотую точку. То есть наглядно видно, что в положении 4 (y=-1) точки пересечения опять 2. Опять запомнили. Поднимаемся. Но тут точек пересечения так и остаётся 2. Положение 5 и положение 6. А когда всё опять портится? Когда мы пересекли точку y=2,5. Дальше там одна точка пересечения и уже навсегда.
Надеюсь не очень много букв ) Но в любом случае рекомендую вчитаться, так как такой вопрос есть у 80% заданий этого типа. Разница лишь в количестве точек пересечения.
Итого что имеем? Две точки пересечения у прямой y=m и нашего графика будет при m∈{-5}∪[-1;2,5] (или можно написать при m=-5 и m∈[-1;2,5])
Надеюсь этот разбор поможет вам успешно справится с непростым заданием второй части ОГЭ и получить заветные 2 балла. Ну а впереди ждут разборы построений графиков с модулями и выколотыми точками.
Подпишитесь, чтобы не пропустить. И не забывайте - палец вверх вдохновляет автора на написание новых статей. )
Ну а желающим попробовать свои силы вот такое задание:
Задание 1
Постройте график функции. Определите, при каких значениях mm прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.