Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из вершин A и B, пересекаются в точке H, причём ∠AHB=120∘, а биссектрисы, проведённые из вершин B и C, — в точке I, причём ∠BIC=130∘. Найдите величину угла ABC.
Во-первых, если посмотреть на треугольник BIC, то становится очевидно, что х+у=50.
Теперь делаем хитрый финт ушами - если сложить углы В и С, то получим 2х+2у, т.е. 100, а значит угол А в треугольнике АВС равен 80.
Факт интересный, но пока бесполезный.
Теперь смотрим на второй известный нам угол - АНВ. Сразу понимает, что смежный ему угол равен 60, а у этого смежного есть вертикальный и он тоже 60. Теперь если пристально взглянуть на треугольник АНХ, то становится понятно, что угол А в нем равен 30 градусов.
Ровно такая такая же история с треугольником BHF. Угол HBF в нем равен 30 градусов.
Теперь понятно, что нам осталось найти угол АВН и мы ответим на вопрос.
Смотрим на треугольник АВН. Вспоминаем бесполезный факт про то, что угол ВАС равен 80 градусов. Но мы уже вычислили угол НАХ и он 30 градусов, значит ВАН = 80-30=50.
Но тогда АВН равен 10 градусов (180-120-50)
Ну а искомый нам АВС = 30+10=40
Ответ: 40