"Шедеврально!" - сказала бы Татьяна Анатольевна Тарасова, если бы прочла на моём канале комментарий, который я вынес в название этой статьи. Давно уже хотел поговорить о том, как вольно и специфично обходятся в школе на уроках математики с доказательствами, и тут - готовый заголовок в руки плывёт. Очень люблю такое.
Не спорю, собеседник явно неплохое образование получил - по крайней мере, не называет коммутативность "переместительным законом" и что-то слышал по поводу того, что тут же окрестил "заумью". Более того, на самом деле у него даже есть рациональное зерно на тему того, что, по-хорошему, в школе можно выдавать расширенную аксиоматику (а потом уже, при желании, продвинутым детям показывать, насколько существенно можно сократить набор аксиом), из которой, по тем же строгим правилам логики, что действуют в любом разделе "настоящей" математики, выводить всё последующее. Возможно (я пока ещё не обдумал этого достаточно, но склоняюсь к тому, что да), это ключ к тому, чтобы у школьников формировалось правильное представление о том, что такое математика, и о том, что значит "доказать".
Только в реальной массовой школе происходит отнюдь не то, что настойчиво предлагает нам комментатор: никакой аксиоматики, а уж тем более - правил вывода, там и близко нет. Есть "набор знаний", зачастую - несвязанный между собой, которые каким-то магическим образом предлагается использовать при решении задач. Аксиома по школьному определению - "то, что мы принимаем без доказательства" - и дети на полном серьёзе говорят что-то в духе "примем эту теорему как аксиому". Доказать по школьному определению - посмотреть парочку примеров, "увидеть закономерность", "вывести правило" - и запомнить, что так (непонятно почему) будет всегда.
Но человек вообще не понимает, как устроена школа. Человек имеет весьма благородную фантазию, о том, как она могла бы (должна бы) быть устроена - этого не отнять, ибо, повторюсь, мысль о том, чтобы честно оформить кучу утверждений в аксиомы (без убогого "доказательства" на парочке примеров), а потом из них честно строить всю остальную науку - максимально рациональная. И если бы обучение математике в школе было устроено так, то уже с ранних лет школьники привыкали бы к понятию доказательства, а не выпадали бы в осадок на моё недовольство их парочкой примеров - ибо "а нас в школе так учили"...
Понимаете масштаб проблемы, уважаемый Андрей? Нету в школе никакого "набора аксиом" - есть лишь "набор утверждений", которые верны потому, что Марьиванна так сказала, да и в учебнике написано. А если мы усомнимся, то можно парочку примеров посмотреть - и если для них верно, то значит всегда верно. Вот, например, a^b=b^a - Вы не верите мне? Я для примеров посмотрел: 1^1=1^1, 3^3=3^3. Мало Вам примеров? Ну давайте ещё: 7^7=7^7. Во как!
Вам очевидна логическая ошибка? Мне тоже. А школьнику, которого приучили "доказывать на примере", она совершенно не очевидна. Даже наоборот - для него этот бессмысленный набор примеров - идеальное доказательство. Кто ему объяснил, что это не так? Как ему это объяснить, если у него в учебнике русским по белому написано, что "от перемены мест слагаемых сумма не меняется", ибо "2+3=5, 3+2=5". Общее утверждение следует из частного - да, в учебнике так не просто можно, но и как будто нужно. И какие шансы у школьника после этого бреда понять, что вообще значит "доказать"?
Приведёте пример, что 2^3=3^2 не работает? Хорошо, кто-то запомнит, что из-за этого нельзя использовать "свойство" a^b=b^a - но это не помешает ему на следующий раз выдумать ещё что-нибудь, более хитрое, что он тут же решит на практике применить. Мой персональный фаворит здесь - сокращение дробей на общие слагаемые у числителя и знаменателя:
Можно, конечно, сказать, что это ученик виноват - какую-то хрень пишет. Но нет, проблема в том, что это довольно смышлёный ученик, которого в началке испортили помечанием закономерностей и доказательствами на примере! Он искренне не понимает, почему так нельзя - и попытка направить его в нужное русло "делать, как можно" терпит крах. Ведь он привык "делать, как хочет" - за применённую интуицию хвалили раньше. За хитрую закономерность, которая никак не доказывалась, ставили пятёрку - и он эти головоломки искренне за математику принимает. Ясный взгляд и "А что не так?" - даже после того, как трижды обсудили, как сокращать можно, и десять раз правильно прорешали задачи. Ну ведь хочется же абы как делать - вот такая интуиция, блин!
Можно делать только так, как можно. А так, как не можно - делать нельзя!
Математика - это искусство рассуждать. Но из школы убрали абсолютно всё, что связано с рассуждением. Школьный курс математики превратили именно в тот самый набор разрозненных утверждений, которые никак не связаны между собой. Причём впихивают очень много утверждений, а вместо понимания связи подталкивают школьников к тому, чтобы всё зазубрить. Думать - это опасно, так что все должны тупо зубрить. Такова, вероятно, цель рептилоидов министерства затемнения просвещения. Иначе непонятно, почему школьная математика - уже настолько не математика...
Возвращаясь к тому, что коммутативность сложения в первом классе - аксиома: было бы здорово, если бы это действительно было так, но попробуйте спросить у первоклашки, почему "от перемены мест слагаемых сумма не меняется" - и он Вам это немедленно "докажет на примере". Вы можете сколько угодно считать, что это аксиома - а для него это утверждение, которое он только что доказал. И к пятому классу ничего не изменится, и к десятому тоже - "докажем на примере" закрывает дверь в мир настоящей математики на засов.
А ведь можно было бы и правда в школах учить так, как Вы, уважаемый Андрей, предлагаете - и тогда не нужны бы были кружки для старшей группы детского сада, в которых (только шёпотом, а то ведь коллеги случайно прочитают статью и обидятся ненароком) всё равно не научат ничего доказывать - вернулись бы те благословенные времена, когда в пятом (а то и шестом) классе в кружок шли нормально подготовленные к восприятию реальности дети, у которых понятие доказательства не вызывает шока и трепета.
Но, увы, сегодня в школах учат чему-то неведомому. Поэтому сейчас настоящая математика - только в кружках. Поэтому сегодня кружок - это не только "для тех, кому мало школьной программы", а для всех, кто не хочет от этой программы окончательно отупеть:
А станет ли когда-нибудь с математикой в школе лучше - узнаем в следующей серии. Лет через двадцать поговорим. Если доживём. И если школа доживёт.