Канал
предлагает материалы для людей со школьным математическим образованием. В том числе и задачи — от простых до зубодробительных.
В нём была предложена
Задача
Доказать, что число 2¹⁰ + 5¹² составное.
Решение:
(Максим Борзов)
2¹⁰+5¹² = 2¹⁰ + 5¹² + 2∙2⁵∙5⁶ – 2⁶∙5⁶=(2⁵ + 5⁶)² – (2³∙5³)² =
= (2⁵ + 5⁶ + 2³∙5³)(2⁵ + 5⁶ – 2³∙5³) = 16657*14657. Кстати, это ПРОСТЫЕ множители... (конец цитаты)
Применялись следующие приёмы:
- "Прибавить и отнять", в данном случае то, чего не хватает до квадрата суммы;
- разложение на множители разности квадратов.
Ошибочное решение
Михаил А., позднее almikhail, решил, что 5¹² при делении на 3 имеет остаток, равный 2. А так как 2¹⁰ имеет остаток 1, то сумма делится на 3. Как мы знаем из решения Максима Борзова, это неверно. У нас с Михаилом сложился такой диалог:
Я предложил 2 способа доказательства своего утверждения:
Я, пожалуй, поясню первый способ, используя заодно более вменяемую символику.
5⁰ = 1; 5¹ ≡ 2 (по модулю 3), 5² ≡ 2² ≡ 1; 5³ = 5² ∙ 5 ≡ 1 ∙ 5 ≡ 2, и т.д...
Здесь символ ≡ означает сравнимость по модулю 3. То есть то, что слева и справа от этого символа, имеет одинаковые остатки от деления на 3. Аналогично тому, что написано, если показатель степени нечётный, то остаток 2, а если чётный, то 1. Поэтому 5¹² имеет вид 3m + 1.
Разумеется, не все изучали в школе сравнения, поэтому второй способ предлагает просто получить результат с помощью калькулятора.
Нормальная для науки полемика, имеющая целью выяснение истины. Не реагировать на такие возражения эмоционально, с раздражением, а понять и принять их (если они истинны) — обычная реакция настоящего учёного. Что Михаил А. и продемонстрировал.
Мне не нравится такая задача
Рассмотрим, какие особенности задачи позволили иметь именно такое решение.
- Обе слагаемые степени имеют чётные показатели.
- Первая степень имеет в основании именно 2.
- Её показатель равен удвоенному нечетному числу.
Стоит только нарушить одно из этих условий, как решение не работает. Данные задачи специально подбирались к заданному решению. Это обычная практика при составлении олимпиадных задач.
Этот приём, "прибавить и отнять" то, чего не хватает (для формулы квадрата суммы), широко применяется в математических вычислениях. Я знал его КМК всегда. И он используется и в более серьёзных целях:
Уп-с! Ципса на марше
Я называю ципсой публику, которая ставит дизлайки, ничем не аргументируя и не объясняя свою оценку. Этому названию есть исторические причины.
Все вышесказанное происходило более 2 лет назад, но сегодня Василий М. поставил дизлайк моей реплике о том, что "второе слагаемое 3m + 1".
Чем он руководствовался, можно только гадать. Предложенные мной 2 способа доказательства его не убедили. То есть, по его мнению, доказательство не доставляет истину в математике.
Возможно, он просто возмутился тем, что кто-то осмелился возражать. Может быть, для него наука не поиск истины, а политес с бальными танцами. Ну, не знаю. Он ничего не написал.