Одна задача про разложение на множители

Канал

предлагает материалы для людей со школьным математическим образованием. В том числе и задачи — от простых до зубодробительных.

В нём была предложена

Задача

Доказать, что число 2¹⁰ + 5¹² составное.

Решение:

(Максим Борзов)

2¹⁰+5¹² = 2¹⁰ + 5¹² + 2∙2⁵∙5⁶ – 2⁶∙5⁶=(2⁵ + 5⁶)² – (2³∙5³)² =
= (2⁵ + 5⁶ + 2³∙5³)(2⁵ + 5⁶ – 2³∙5³) = 16657*14657. Кстати, это ПРОСТЫЕ множители... (конец цитаты)

Применялись следующие приёмы:

• "Прибавить и отнять", в данном случае то, чего не хватает до квадрата суммы;
• разложение на множители разности квадратов.

Ошибочное решение

Михаил А., позднее almikhail, решил, что 5¹² при делении на 3 имеет остаток, равный 2. А так как 2¹⁰ имеет остаток 1, то сумма делится на 3. Как мы знаем из решения Максима Борзова, это неверно. У нас с Михаилом сложился такой диалог:

almikhail это изменённый ник Михаила А. Зачем-то шифруется...

Я предложил 2 способа доказательства своего утверждения:

Я, пожалуй, поясню первый способ, используя заодно более вменяемую символику.

5⁰ = 1; 5¹ ≡ 2 (по модулю 3), 5² ≡ 2² ≡ 1; 5³ = 5² ∙ 5 ≡ 1 ∙ 5 ≡ 2, и т.д...

Здесь символ ≡ означает сравнимость по модулю 3. То есть то, что слева и справа от этого символа, имеет одинаковые остатки от деления на 3. Аналогично тому, что написано, если показатель степени нечётный, то остаток 2, а если чётный, то 1. Поэтому 5¹² имеет вид 3m + 1.

Разумеется, не все изучали в школе сравнения, поэтому второй способ предлагает просто получить результат с помощью калькулятора.

Нормальная для науки полемика, имеющая целью выяснение истины. Не реагировать на такие возражения эмоционально, с раздражением, а понять и принять их (если они истинны) — обычная реакция настоящего учёного. Что Михаил А. и продемонстрировал.

Мне не нравится такая задача

Рассмотрим, какие особенности задачи позволили иметь именно такое решение.

1. Обе слагаемые степени имеют чётные показатели.
2. Первая степень имеет в основании именно 2.
3. Её показатель равен удвоенному нечетному числу.

Стоит только нарушить одно из этих условий, как решение не работает. Данные задачи специально подбирались к заданному решению. Это обычная практика при составлении олимпиадных задач.

Этот приём, "прибавить и отнять" то, чего не хватает (для формулы квадрата суммы), широко применяется в математических вычислениях. Я знал его КМК всегда. И он используется и в более серьёзных целях:

Уп-с! Ципса на марше

Я называю ципсой публику, которая ставит дизлайки, ничем не аргументируя и не объясняя свою оценку. Этому названию есть исторические причины.

Все вышесказанное происходило более 2 лет назад, но сегодня Василий М. поставил дизлайк моей реплике о том, что "второе слагаемое 3m + 1".

Чем он руководствовался, можно только гадать. Предложенные мной 2 способа доказательства его не убедили. То есть, по его мнению, доказательство не доставляет истину в математике.

Возможно, он просто возмутился тем, что кто-то осмелился возражать. Может быть, для него наука не поиск истины, а политес с бальными танцами. Ну, не знаю. Он ничего не написал.