Почитать это было бы особенно полезно учащимся до изучения темы "Решение квадратных уравнений". И не тогда, когда "К следующему уроку выучить параграф... и страницы...", а в спокойной обстановке, без горячки дефицита времени, чтобы иметь возможность понять и прочувствовать каждый шаг. И обязательно произвести вычисления, представленные в тексте только готовым результатом.
Маленький математический этюд
Выделение полного квадрата
Начнем с вещей совершенно простых: формула квадрата суммы (разности):
(A + B)² = A² + 2 A∙B + B²;
(A − B)² = A² − 2 A∙B + B².
Если вы их не помните, то можете легко вывести: (A + B)² = (A + B)∙(A + B), далее надо раскрыть скобки, в одном из произведений изменить порядок сомножителей и затем привести подобные.
Только нам эти формулы надо будет использовать справа налево.
1. Рассмотрим, например, квадратичное выражение
x² − 6 x + 5
и будем подгонять его к виду правой части формулы квадрата разности. Сразу видно, что хорошо взять A = x. Тогда −6 x надо подогнать под вид
−2 A∙B = −2 x∙B. Для этого надо взять B = 6 x / (2 x) = 3.
Первые два слагаемых мы привели к виду A² − 2 A∙B, выбрав подходящие значения для A и B. Чтобы получить квадрат разности, надо прибавить B² = 9:
x² − 6 x + 9...
а чтобы значения выражения не изменились, тут же его вычесть:
x² − 6 x + 9 − 9 + 5 (последний член исходного выражения). Теперь первые три слагаемых свернем по формуле квадрата разности, а последние два просто сосчитаем:
x² − 6 x + 5 = (x − 3)² − 4.
Это и есть выделение полного квадрата (x − 3)² в простейшем случае. Вроде бы проще не стало... Но обратите внимание на то, что мы избавились от первой степени переменной в чистом виде, засунув ее в скобку под операцией возведения в квадрат.
2. Теперь возьмем пример посложнее:
4 x² + 4 x − 3.
Тут можно поступить двояко.
А. Взять A = 2 x. Тогда
4 x² + 4 x − 3 = 4 x² + 2 (2 x)∙1 + 1 − 1 − 3 = (2 x + 1)² − 4
(B = 1).
B. Можно вынести множитель при x² и внутри скобок поступить как в первом примере: 4 x² + 4 x − 3 = 4 (x² + x − 3/4) = 4 (x² + 2 x ∙ 1/2 + 1/4 − 1/4 − 3/4) =
= 4 [(x + 1/2)² − 1]... и затем перемножить обратно: ... = (2 x + 1)² − 4.
Зачем это надо? И зачем нужно это умение?
Решение квадратных уравнений
Уравнение
4 x² + 4 x − 3 = 0
преобразуется к виду
(2 x + 1)² − 4 = 0,
(2 x + 1)² = 4.
Решаем:
2 x + 1 = −2 или 2 x + 1 = 2,
2 x = −1 − 2 или 2 x = −1 + 2
x = − 3/2 или x = 1/2.
В общем случае уравнения
a x² + b x + c = 0
в учебниках (я надеюсь) поступают так же и получают в результате знаменитые формулы через дискриминант и/или через четверть дискриминанта. Но прежде чем тренироваться в применении этих формул, я настойчиво рекомендую научиться уверенно применять для решения квадратных уравнений операцию выделения полного квадрата.
И если вы это разобрали, вы никогда не забудете поставить минус перед коэффициентом b в общей формуле. И не надо будет параграф и страницы учить наизусть.
Если вы приверженец рецептурного подхода, то сбои в памяти вполне возможны, и тогда бог вам судья.
Минимум или максимум?
Более сложное применение выделения полного квадрата. Немного выходит за пределы школьной программы, но можно обойтись без дополнительных знаний.
Пусть точка (x, y) исследуется на предмет того, есть ли в ней экстремум (минимум или максимум?). Точка, значение функции в которой мы будем сравнивать со значением в (x, y), обозначим так: (x + Δx, y + Δy). Здесь Δx и Δy не произведения какого-то Δ на x и y, а просто приращения, которые надо дать координатам x и y, чтобы получить "другую" точку для сравнения.
Рассмотрим функцию
F(x, y) = 4 x² + 4 xy + 3 y² − 16 x − 16 y.
Тогда F(x + Δx, y + Δy) =
= 4 (x + Δx)² + 4 (x + Δx) ∙ (y + Δy) + 3 (y + Δy)² − 16 (x + Δx) − 16 (y + Δy).
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые по степеням Δx и Δy:
F(x + Δx, y + Δy) =
= 4 Δx² + 4 Δx ∙ Δy + 3 Δy² +(8 x + 4 y − 16) ∙ Δx + (4 x+ 6 y − 16) ∙ Δy + F(x, y).
Выражения в скобках при Δx и Δy обращаются в 0 при x = 1, y = 2.
Я утверждаю, что в точке (1, 2) эта функция имеет абсолютный минимум. Это означает, что в любой точке значение функции не меньше, чем в точке (1, 2):
F(x, y) ≥ F(1, 2).
Если это неравенство справедливо только при условии, что точка (x, y) близка к точке (1, 2), то такой минимум по взрослому называется локальным.
В школе абсолютный минимум называют наименьшим значением (на заданном множестве), а локальный просто минимумом.
В бытность свою экспертом ЕГЭ я опросил своих коллег-учителей школы, что они понимают под минимумом. Ответ был, в лучшем случае, что левее точки функция убывает, а правее возрастает.
Начнем с того, что предложенное ими понятие не пригодно для функций 2 и более переменных (что такое левее-правее?). Но и в случае одной переменной оно просто неверно! С тех пор я не имел дела с ЕГЭ.
Теперь в конкретной точке (1, 2) имеем
F(1 + Δx, 2 + Δy) − F(1, 2) = 4 Δx² + 4 Δx ∙ Δy + 2 Δy².
Для того, чтобы в точке (1, 2) имелся абсолютный минимум, нужно, чтобы
4 Δx² + 4 Δx ∙ Δy + 3 Δy² ≥ 0
при любых Δx и Δy. Чтобы установить это, выделим полный квадрат:
4 Δx² + 4 Δx ∙ Δy + 2 Δy² =
= 4 Δx² + 2 2x ∙ Δy + Δy² − Δy² + 3 Δy² = (2 Δx + Δy)² + 2 Δy².
Благодаря этому мы избавились от члена 4 Δx ∙ Δy. Точнее, он теперь присутствует неявно в выражении (2 Δx + Δy)².
И что мы видим? Приращение F(1 + Δx, 2 + Δy) − F(1, 2) значения функции выражается в виде суммы квадратов с какими-то коэффициентами. Оба коэффициента (1 и 2) положительны, следовательно, приращение всегда ≥ 0. Так что минимум.
Более того, выражения, стоящие под квадратами (2 Δx + Δy и Δy), одновременно равны 0 только при Δx = Δy = 0, поэтому во всех других точках, кроме (1, 2), значение строго больше.
Какие еще возможны варианты?
2. Если в результате выделения полного квадрата получились оба квадрата с отрицательными коэффициентами, наподобие −2 (Δx + Δy)² − Δy², то исследуемая точка является точкой максимума.
3. Если коэффициенты имеют разные знаки, как в случае (Δx − 3 Δy)² − 4 Δy², то никакого экстремума нет. В самом деле, если взять Δy = 0 и Δx ≠ 0, то приращение будет положительно, то есть значение F(x + Δx, y) > F(x, y). А если Δx = 3 Δy ≠ 0, то F(x + Δx, y + Δy) < F(x, y).
4. Один из коэффициентов при квадратах точно равен 0. Про этот случай ничего не хочу говорить.
Способов получить два квадрата с коэффициентами существует много, но в силу закона инерции количества положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов будут всегда одинаковы.
Для таких задач тоже можно ввести понятие дискриминанта и по его знаку судить о наличии экстремума. Сторонники рецептурного стиля в образовании так и поступают.
Надо иметь в виду, что математика может справляться с исследованием и более сложных функций, чем квадратичные. Но убедительный (доказательный, нерецептурный) рассказ об этом потребует выйти за пределы того уровня сложности, придерживаться которого я обещал.
Картинка для Дзена:
