Характеристики числового набора
Ранее вы изучали с характеристиками числового набора. Вы знакомы с такими характеристиками, как среднее арифметическо, размах, наибольшее-наименьшее значение, мода, медиана и отклонение от среднего арифметического. Пришло время знать, что такое дисперсия числового набора.
При анализе результатов исследований полезно иметь представление о разбросе данных в числовом ряду. Размах ряда один из таких показателей, но дает слишком грубую оценку. Рассмотрим наиболее часто используемый на практике статистический показатель – дисперсия.
Представлен ряд чисел 4; 8; 12; 7; 16; 13. Вычислим среднее арифметическое данного ряда:
Для вычисления дисперсии, воспользуемся следующей таблицей. Первый столбец (самый левый) является оглавлением строк. В первой строке каждому элементу ряда чисел присваивается столбец.
Вычислим отклонение каждого члена ряда от среднего арифметического и запишем во вторую строку. В третьей строке составим ряд квадратов отклонений.
Затем рассчитаем среднее арифметическое третьего ряда, т. е. определим дисперсию заданного ряда данных.
Среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего арифметического называется дисперсией числового набора.
Обычно говорят короче: дисперсия — это средний квадрат отклонений.
Дисперсия – это мера разброса чисел в ряду.
Дисперсия обозначается S².
Применение дисперсии
Экономика. Дисперсия используется для анализа доходов, расходов, цен на товары и других финансовых показателей. Например, если компания анализирует свои доходы по сезонам, малая дисперсия укажет на стабильность доходов, а высокая — на значительные колебания.
Медицинские исследования. Дисперсия используется для оценки воздействия различных методов лечения. Например, она помогает оценить, насколько различаются реакции пациентов на лечение и насколько эффективно оно работает в целом. В медицинской диагностике (определение состава тканей, анализа биологических жидкостей).
Наука об окружающей среде. Дисперсия используется для изучения изменчивости климата и того, как он влияет на экосистемы. Исследователи могут оценивать тенденции и прогнозировать будущие изменения климата, изучая колебания температуры, осадков и других климатических элементов во времени.
Производство. Дисперсия помогает контролировать качество продукции, выявляя отклонения в таких характеристиках, как вес или размер.
Задания
№1. Для данных числовых наборов составьте таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений от среднего и найдите дисперсию:
а) – 2; 1; 7 б) 3; 4; 5
№2. Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Дисперсия какого набора больше?
а) 1; 7; 1 и 5; 7; 3 б) 3; 2; 2; 5 и 3; 1; 7; 5
№3. Даны два набора чисел. Отметьте числа на числовой прямой. Определите на глаз, у какого из наборов рассеивание значений больше. Проверьте ваш глазомер, вычислив и сравнив дисперсии наборов.
а) 1; 5; 3 и 9; 8; 4 б) 9; 7; 8; 4 и 13; 15; 17; 11
№4. Тренер юношеской команды «Кристалл» по хоккею, из двух запасных нападающих (форварда), должен включить в состав команды только одного спортсмена на игры регионального этапа «Золотая шайба».
Из приведенной таблицы определите, кто войдет в состав команды «Кристалл».
№5. Для участия в спортивных играх нужно выбрать лучшего футболиста. На одно место претендуют два футболиста . Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были участвовать в отборных играх. Результаты спортсменов представлены в таблице.
Кого из футболистов предпочтительнее взять на спортивные игры?