Эта короткая статья необходима для доказательства признаков подобия треугольников.
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
На канале есть видео на эту тему.
Прежде всего вспомним, что площадь треугольника вычисляется как половина произведения длины высоты на длину стороны, к которой построена высота. Естественно, это не единственный способ определения площади треугольника, но мы будем рассматривать только его.
В свою очередь, высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.
Понятно, что возможны три варианта расположения высоты h треугольника. Высота вне треугольника, высота внутри треугольника, высота совпадает с одной стороной треугольника. При этом расположение высоты треугольника не влияет на формулу определения его площади S.
Нетрудно заметить, что если у двух разных треугольников высоты равны, отношение площадей этих треугольников такое же, как отношение длин сторон, к которым построена высота.
Докажем следующее утверждение. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, прилежащих к этим углам.
Совместим треугольники, площади которых соответственно S₁ и S₂, таким образом, чтобы совпал равный угол. Сторона первого треугольника b и сторона второго треугольника c обозначены на рисунке штриховыми линиями.
Соединим концы отрезков b и c. Мы получили новый темно-серый треугольник, один угол которого такой же, как равные углы исходных треугольников, а стороны, прилежащие к этому углу, b и c. Пусть площадь этого треугольника равна S₃.
Построим две высоты треугольника S₃. Одна высота h₁ перпендикулярна стороне c, а вторая h₂ перпендикулярна прямой, содержащей сторону b.
Легко заметить, что высота h₁ одновременно является и высотой для треугольника площадью S₁. Тогда отношение площадей S₁ и S₃ равно отношению длин сторон a и c.
В свою очередь, высота h₂ также является высотой для двух треугольников площадью S₂ и S₃. И отношение этих площадей такое же, как отношение длин сторон d и b.
Выразив площади S₁ и S₂ через произведение площади S₃ и отношения соответствующих сторон и записав выражение для отношения площадей S₁ и S₂, мы получаем, что эти площади относятся как произведения сторон, прилежащих к равному для обоих треугольников углу.
Утверждение доказано