О важности грамотной речи всем нам не раз рассказывали на школьных уроках русского языка. Но если в бытовой ситуации того, кто говорит недостаточно грамотно (например, не совсем правильно понимая значение слова - как Остап Бендер, который предполагал, что "конгениально" означает "в высшей степени гениально"), вполне поймут, только посмотрят немного косо, то неправильное использование терминологии в науке ведёт именно к недопониманию между людьми и препятствует как поиску научной истины, так и образованию того, кто не понимает значение терминов, в соответствующей области.
Этот текст я написал несколько лет для школьников, чтобы они могли не допускать обидных ошибок при разговоре о совсем разных вещах, которые звучат похоже.
Делимость и деление
Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b, если существует такое натуральное число c, что a = b * c. Например, 6 делится на 2 (6 = 2 * 3), 6 делится на 3 (6 = 3 * 2), 6 не делится на 4 (4 * 1 < 6, 4 * 2 > 6).
Просто "делится", без всяких примесей. Любимые в школе термины "делится нацело" или "делится без остатка" допустимы, но нежелательны. Любые другие слова, которые приходят в голову - "делится полностью", "делится без дробей" и тому подобная чепуха - недопустимы, так как не несут никакого математического смысла. Скорее всего (хотя не факт), вас поймут, но точно посмотрят косо.
Делимость в своём определении не содержит никаких ссылок на деление. Деление в натуральных (и даже целых) числах - это вообще несуществующее действие. Есть только деление с остатком:
Для любых натуральных чисел a и b существуют единственные такие числа q и r (натуральные или нулевые), что a = b * q + r и r < b. Такое q называется неполным частным, а r - остатком. Например, 2020 = 8 * 252 + 4 (2020 при делении на 8 даёт неполное частное 252 и остаток 4), 2020 = 9 * 224 + 4 (2020 при делении на 9 даёт неполное частное 224 и остаток 4), 2020 = 10 * 202 + 0 (2020 при делении на 10 даёт неполное частное 202 и остаток 0), 2020 = 2027 * 0 + 2020 (2020 при делении на 2027 даёт неполное частное 0 и остаток 2020).
Несложно заметить, что случай нулевого остатка соответствует тому, что a делится на b. Таким образом, "a делится на b" или "a даёт остаток 0 при делении на b" - это одно и то же, и в разных случаях уместнее либо одна, либо другая фраза. Но и тут есть опасная ошибка, возникающая из желания совместить две фразы в одну: "a делится на b с остатком 0" - так говорить категорически нельзя. Либо делится, либо даёт остаток 0. Например, "2020 делится на 10" или "2020 даёт остаток 0 при делении на 10", но ни в коем случае не "2020 делится на 10 с остатком 0".
А ведь часто можно зайти ещё дальше и произнести что-то подобное в случае с ненулевым остатком: "a делится на b с остатком r" - это грубейшая ошибка! Если r не равен 0, то a никак не делится на b, оно только "даёт остаток r при делении на b". Например, 2020 даёт остаток 4 при делении на 8, но ни в коем случае не "2020 делится на 8 с остатком 4" - 2020 на 8 не делится.
Отдельно остановимся на записи деления с остатком. В школе учат писать что-то в духе a : b = q (ост. r). Но это, конечно, плохо. Хотя бы потому, что знак равенства здесь неправомерен. Гораздо разумнее писать a = b * q + r, подразумевая, что q - неполное частное, r - остаток. Например, не 2020 : 8 = 252 (ост. 4), как в начальной школе, а только 2020 = 8 * 252 + 4.
В большинстве школьных учебников, начиная с 5 класса, кощунственная запись a : b = q (ост. r) уже не встречается, хотя некоторых учителей это не останавливает от вдалбливания детям неверной по сути формы записи.
Если остаток нулевой, то a : b = q писать можно, и это действие обычно называется просто делением, а вместо словосочетания "неполное частное" говорят просто "частное". Например, можно написать 2020 : 10 = 202 вместо 2020 = 202 * 10 + 0, и это будет нести тот же смысл.
Обратите внимание, что, хотя вам и хочется назвать деление "делением без остатка" или ещё как-то вычурно, это частный случай того же самого деления с остатком, при котором остаток просто оказался равен нулю.
То же самое относится к сочетанию "можно разделить", который часто хочется использовать вместо термина "делится": 2 можно разделить на 3, число 2/3 все видели, которое при этом получится, но 2 не делится на 3. Поэтому я иногда говорю, что делимость имеет крайне мало отношения к делению. Это совсем разные вещи, хотя и связанные. Не путайте их.
Продолжение следует:
Давайте говорить правильно! (часть вторая) | alexunited | Дзен (dzen.ru)