Сириус. Комбинаторика. 7 класс. Рыцари и лжецы.

По кругу стоят 130 детей, среди которых есть хотя бы один мальчик и хотя бы одна девочка. Каждый ребёнок сказал: «Мои соседи — мальчик и девочка». Известно, что неправду сказали все мальчики и ровно одна девочка. Сколько всего могло быть мальчиков?

Разобьём всех детей на группы подряд идущих девочек и подряд идущих мальчиков (по условию есть и те, и другие).

Предположим, найдётся группа, в которой хотя бы 2 мальчика. Тогда крайний из них сказал правду, так как он стоит между мальчиком и девочкой. Противоречие. Значит, все группы мальчиков состоят из 1 ребёнка. Тогда каждый мальчик находится между двумя девочками, и он действительно сказал неправду.

Рассмотрим, сколько девочек может быть в одной группе.

• Если в группе хотя бы 4 девочки, то все девочки, не стоящие с краю, сказали неправду, так как каждая из них стоит между двумя девочками. Таких девочек хотя бы 2. Противоречие, ведь такая девочка по условию всего 1
• .Если в группе 3 девочки, то только средняя из них сказала неправду, а две крайние —правду.
• Если в группе 2 девочки, то каждая из них сказала правду.
• Если в группе 1девочка, то она сказала неправду, так как она находится между двумя мальчиками.

Следовательно, группы девочек устроены следующим образом: ровно одна группа из 1 или 3 девочек и несколько групп из 2 девочек.

Если есть группа из 1 девочки, то временно забудем про неё и одного соседнего с ней мальчика. Тогда оставшиеся 128 детей разобьются на блоки из 2 девочек и 1 мальчика. Но 128 не делится на 3. Противоречие.

Если же есть группа из 3 девочек, то временно забудем одну из девочек этой группы. Тогда оставшиеся 129 детей разобьются на блоки из 2 девочек и 1 мальчика. Таких блоков 43, поэтому мальчиков в кругу ровно 43.

Остальные задачи раздела