Рассмотрение этой темы в цикле статей о Процессной модели имеет смысл в силу использования этого действия над мнимой единицей и указанного в статье:
Возведение в квадрат означает умножение числа на себя. Умножение – одна из основных математических операций над числами и формально это есть многократное сложение. Поэтому всё это достаточно тривиально и банально с точки зрения математики. Но и в таком простом действии можно увидеть определённую изюминку. Когда мы складываем, к примеру, два числа, то речь идёт о простом увеличении некоего количества. Если перейти на образы, то в случае с некоторым отрезком это означает увеличение его длины. Другими словами, мы изменяем количество некоего качества. Когда перемножаем два числа, то с точки зрения простой математики действительно происходит всего лишь многократное сложение. Однако в нём можно увидеть и иное образное представление. В частности, если обратиться к геометрии и множителями определить ширину и высоту прямоугольника, то результатом такого умножения окажется величина, которая определяет площадь геометрической фигуры. Таким образом в данном случае следствием умножения следует считать переход количества в новое качество, когда два одномерных отрезка определяют двухмерную площадь.
Возведение в квадрат означает умножение числа само на себя и такое действие имеет своё собственное определение - это степень. Фактически мы делаем различие между умножение двух различных чисел и одного и того же числа. В геометрии, как было сказано выше, для некой конкретной фигуры результатом оказывается и в первом, и во втором случае, площадь. Однако теперь наоборот алгебра выделяет степень в отдельное понятие.
Философский подход к возведению в квадрат тоже однозначно определяет его как отдельный уровень развития понятия количество, которое различается на чистое количество, определённое количество и степень. Если выделить лишь наиболее важную мысль из того, что говорится о степени в трудах Гегеля, то она может быть сведена к тому, что степень - это одно из трёх арифметических действий, которые производятся над числами, и оно завершающее:
Так как в этом третьем определении достигнуто полнейшее равенство единственного имеющегося различия (множества и единства), то не может быть больше арифметических действий, чем эти три.
Таким образом, в отличии от сложения и умножения, именно при возведении в степень достигается снятия различия между множеством и единственностью. Но любое снятие противоречия есть процесс возникновения чего-то нового.
Возвращаясь к понятию возведения числа в квадрат, можно ещё раз обратить внимание на то, что здесь в самой терминологии заложен подход из геометрии, отражающий суть результата операции умножения. Произведением оказывается площадь квадрата со стороной равной числу, возводимую в степень два. И раз уж мы рассматриваем мнимую единицу, то интересен в первую очередь результат возведение в квадрат единицы. Результатом будет та же самая единица. Чисто математически получаем совершенно понятный и банальный результат.
Однако, вся прелесть тут проявляется тогда, когда результат рассматривается как площадь квадрата. Она оказывается тоже равной единице. Получается, что количественно ничто не изменилось, но при этом возникает иное качество. Так, единица основания степенной функции есть некая единичная длина, а в итоге получаем единичную площадь.
Таким образом квадрат числа некой физической величины предполагает проявление нового качества, обладающего двухмерным измерением. Например, если взять из физики обычную формулу кинетической энергии, то её количественное выражение находится в зависимости от квадрата скорости. Это как раз и говорит о том, что скорость, которая к тому же векторная величина, присутствует в энергии ещё и как двухмерная величина. Поэтому любой квадрат в каких-либо формулах будет говорить о том, что в ней задействуется некая двухмерная сущность, что актуально именно в представлении о формировании пространства энергией.
В этом смысле и мнимая единица тоже подчёркивает отличие связанных с ней выражений от тех, в которых не задействованы комплексные числа. Тем самым такие выражения оказываются распространяющимися на гораздо более широкое множество размерностей. В нашем обычном понимании речь идёт о вещественной и мнимой осях, то есть к обычной размерности пространства добавляется как бы ещё и воображаемая размерность, что как раз для нас и представляет непосредственный интерес.
Если рассмотреть к тому же и равенство i² = -1, то есть возведение в квадрат мнимой единицы, то мы увидим, что получаемый единичный квадрат некой двухмерной мнимой размерности к тому же отличается от вещественной составляющей своим знаком. По сути это означает, что мнимая плоскость есть противоположность вещественной плоскости. Чтобы это лучше понять, можно обратиться к статье, раскрывающей смысловое понятие отрицательных чисел: