Статья с выбором и примерами.
Что такое математика? (включаем внутреннего философа).
Математика - это наука, королева наук, инструмент, ум в порядок приводит и прочие эпитеты.
Но для обучения куда важнее, что математика это нечто, что обладает определёнными уровнями абстракции. От самых низких - перекладывание палочек, болтов и гаек. До самых высоких - дифуров и множеств, и Бог знает, чего ещё (Хомяк на моём канале закидывал доказательство, что 1+1=2, рекомендую ознакомиться с целью проникнуться). И эти абстракции как бы вложены друг в друга - более сложные, высокоуровневые базируются на простых, низкоуровневых. ("сложные" и "простые" не в смысле "трудные", а в смысле "составные")
С этой точки зрения, "понимание" мы можем интерпретировать как умение понижать уровень абстракции.
Но тут возникает трудность. Есть как минимум два пути понижения уровней абстракции.
Первый я бы назвал "мифологический" (термин не мой). Это понижение абстракции до уровня конечного алгоритма ("нулевая" абстракция, работа с конкретными предметами). Поясняю. Если ребёнок не понимает это ваше умножение, у него есть отличная возможность выучить таблицу умножения, алгоритм умножения столбиком - и ву а ля - он умеет умножать. С точки зрения учителя, он "понял" математику.
Второй путь понижения абстракции "рекурсивный". Это переход от абстракции высокого уровня к более низкому уровню. Так как умножение основано на сложении, то никто не мешает ребёнку перейти от умножения к сложению и выполнить его, а результат выдать за результат умножения. С точки зрения учителя - и этот "понял" математику.
Конечный результат одинаковый - задача решена. Умножение выполнено.
Таким образом отсюда следует, что может быть два пути к пониманию преподавания математики.
Первый путь ориентирован на понижение абстракции к конечным алгоритмам. Для этого нужно устанавливать связи между абстрактной задачей (любого уровня) и алгоритмом. И наша любимая лошадь в формулах приведения - очень хороший пример такой связи.
Второй путь будет стремиться установить связь между высоким уровнем абстракции и более низким. Тот, более низкий, в свою очередь, тоже должен понизиться до следующего. И так до самого низкого уровня (потому способ и "рекурсивный", что уровни абстракции вложены друг в друга, как матрёшки). Самый низкий уровень понижать уже некуда, поэтому он тоже должен быть "мифологическим" - то есть выводить на конечный алгоритм.
У обоих путей есть преимущества и недостатки.
"Мифологический" путь
Он не требует никакой начальной подготовки: он позволяет научить второклассника решать дифуры. Он не требует почти никаких усилий и со стороны учителя - можно выдать алгоритм на бумажке и показать, как им пользоваться. Кроме того, этот способ (будучи "табличным") работает очень быстро. Буквально задача - алгоритм - ответ. Не требуется времени на размышления или попытки. Всегда сразу правильно.
Из минусов я бы отметил огромное количество этих алгоритмов, которые нужно запоминать. В одной только школьной математике сотни тем, в каждой из которых десятки алгоритмов. Алгоритмы нужно хранить в памяти в строгом порядке. И обязательно нужны правила-связки, которые свяжут конечный алгоритм с задачей, к которой он подходит (Лошадь). Ну и низкая универсальность. Алгоритм от одной задачи не подойдёт к другой (вы не сможете решить задачу на движение в одном направлении с помощью алгоритма к решению задачи на движение навстречу).
Пример.
Приведу пример работы такой системы с понижением до алгоритма. Возьму для этого многострадальную лошадь тригонометрию, формулы приведения. Формулы приведения используются, чтобы "изменить" большое "уравнение".
"Мифологический" способ
Есть формула приведения sin(90° - ɑ) = cos(ɑ).
Конечный алгоритм тут звучит примерно так: "в записи убери число и знак вычитания, замени подстроку <sin> на <cos>".
Есть соседняя формула sin(180° - ɑ) = sin(ɑ).
Конечный алгоритм тут звучит так: "в записи убери число и знак вычитания".
Справится и ребёнок. Понижение абстракции до уровня реальных действий с реальным ластиком и карандашом.
Но есть загвоздка. Они очень похожи (в одном нужна замена, в другом - нет), да и исходные задачи тоже (одном число 90, а во втором 180). Как связать задачу и алгоритм, если память не идеальна?
Берём транспортир, располагаем его "привычным" образом, заставляем лошадь найти на нём число из формулы. Если лошади нужно головой кивать вверх-вниз, то это означает "да", и замену производим. Ели лошади нужно головой мотать влево-вправо, то это значит "нет" и замену не производим.
Вот она - лошадь.
"Рекурсивный" путь
Основным преимуществом этого пути является его универсальность. Одно и то же понижение абстракции можно применять к огромному количеству задач. Я выше отметил, что понижать бесконечно невозможно, и самый низкий уровень должен понижаться до конечного алгоритма. Но объектов самого низкого уровня очень мало - это натуральные предметы (болты, гайки, палочки), алгоритмы работы с которым, как правило, для человека естественны.
Недостатки тоже довольно очевидны. Это очень высокие требования как к ученику (он должен не только уметь понижать абстракцию этого уровня, но и всех предыдущих), так и к учителю (нужно следить, чтобы ученик действительно научился работать с каждым уровнем). Высокая чувствительность к "пропускам".
Пример.
Задача та же. Использовать формулы приведения.
Для определённости возьмём одну sin(90° - ɑ) = cos(ɑ)
Формулы приведения довольно абстрактны, как и любые формальные записи. Понижаем уровень абстракции до конкретных чисел. Одно конкретное число есть - 90. Второе число ɑ - абстрактное. Заменяем реальным числом 15 (почему 15 - отдельная история). Теперь можно выполнить реальные вычисления. Абстрактный синус (и косинус) через определение легко понижается до рисунка. Рисуем два угла - 15° и 75°, на них строим прямоугольные треугольники (ну, в общем, всё, как в определении написано). Дальше мы работаем не с абстрактной формулой, а с менее абстрактными рисунками и отрезками. (Абстракция рисунка сама по себе является уже очень низкой, но и её тоже можно понизить до работы с физическими палочками и прочими ножницами).
Точно такое же понижение абстракции вполне может использоваться, скажем, для решения тригонометрических неравенств - по определению синусов и косинусов понизить неравенство до рисунка.
Какой из этих подходов выбирать для обучения?
Практика показывает, что эти пути - взаимоисключающие. Если выучился одним способом, то переучиться крайне сложно.
Вот если честно, все мы понимаем, что второй куда более предпочтительный в долгосрочной перспективе. Он более гибкий, более жизнеспособный, более полезный. Но большинство людей отказываются учиться и учить с помощью этого пути. Почему? Потому что "мифологический" путь "проще" и даёт куда больше преимуществ в краткосрочной перспективе. Потому что так привычнее.
___________
Часть этой статьи - мой комментарий к статье другого автора.