В четырёхугольнике ABCD ∠B=∠C=126∘, ∠D>∠A. Биссектриса угла D пересекает серединный перпендикуляр к стороне BC в точкеOO и образует с ним угол 81∘. Найдите величину угла OAD.
Пойдем поэтапно.
Первым делом мы найдем все углы в четырехугольнике ABCD. Для этого рассмотрим четырехугольник OHCD. В нем один угол 90 градусов, второй 126 - это все по условию, а третий угол смежный к углу в 81 градус, т.е. 99 градусов.
Оставшийся угол очень легко вычислить: 360-126-90-99=45.
45 это половина угла D в четырехугольнике ABCD, значит весь угол D равен 90 градусов.
Значит теперь можно найти угол А. Это опять легко 360-2*126-90=18.
Вся сложность в чем? В том, что нам нужны не эти углы. Нам нужен AOD.
Ну тут самое время продлить стороны AB и CD. Полученный треугольник ВХС равнобедренный, потому что углы В и С в четырехугольнике ABCD равны, а значит и смежные к ним тоже равны.
Теперь получается, что ХН это не только серединный перпендикуляр, но и биссектриса, т.к. проведено это дело к основанию равнобедренного треугольника.
А значит точка О это пересечение 2х биссектрис, т.е. и АО это тоже биссектриса.
И получается, что искомый угол это просто половина угла А, т.е. 9 градусов.
Ответ: 9 градусов.
