Дискриминант является одним из самых узнаваемых понятий школьной математики. Однако, в большинстве случаев школьники просто запоминают его формулу и общую формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Мало кто может вывести их и объяснить, почему они так удобны.
Ниже мы разберёмся с решением полного квадратного уравнения, начиная с самых основ.
Итак.
***
Решаем простое квадратное уравнение
Решим уравнение
По сути здесь наc просят найти такое число (или числа), которое при возведение в квадрат (т.е. при умножении на самое себя) дадут в результате 9. Очевидно, что таких чисел всего два, это 3 и -3.
Теперь усложним задачу и попробуем решить такое уравнение:
Выражение в скобках после возведения в квадрат даёт 9. А выше мы нашли, что таким свойством обладают числа 3 и -3. То есть возможно два варианта для выражения в скобках: x-2=3 или x-2=-3. Решая каждое из этих уравнений получаем, что первом случае x=5, а во втором x=-1.
А теперь перепишем ту же самую задачу, перенеся все слагаемые в левую часть. Получим уравнение:
Раскрываем скобки:
После приведения подобных слагаемых получаем
Это уравнение квадратное и записано в более привычной для нас форме. Но мы уже знаем его корни! Ранее мы получили их из исходного уравнения (x-2)²=9.
И теперь мы можем провести те же самые преобразования, но в обратную сторону.
Преобразуем уравнение в обратную сторону
Пусть у нас есть уравнение
Сначала выделим полный квадрат. Для этого сперва разглядим его, «отщипнув» 4 от -5. Это выглядит так:
Теперь соберём в кучу первые три слагаемых и получим квадрат двучлена:
Перенесём -9 в правую часть со сменой знака и получим уравнение
И теперь легко находим корни, как мы делали это выше.
То есть мы смогли из квадратного уравнения x²-4x-5=0 путем выделения полного квадрата сделать удобное уравнение и решить его.
А можем ли мы для любого уравнения вида x²+px+q=0 (такие уравнения с коэффициентом 1 при x² называются приведёнными) сделать похожие преобразования и также получить удобное для решения уравнение? Давайте попробуем.
Решаем приведённое квадратное уравнение
Итак, у нас есть уравнение
Также, как и с уравнением x²-4x-5=0, будем двигаться в обратную сторону. Сначала выделим полный квадрат. Так как первое слагаемое в левой части уравнения равно x², то выделенный полный квадрат будет иметь вид (x+…)². Найдём другое слагаемое в этом двучлене. Нам нужно выделить полный квадрат из выражения (x²+px+…). Слагаемое px является удвоенным произведением x и некоторого числа. Перепишем px в виде 2· (p/2)· x и получим, что второе слагаемое в выражении (x+…)² — это (p/2).
То есть для того, чтобы получить полный квадрат, мы должны к левой части уравнения добавить (p/2)² и сразу его вычесть.
Теперь у нас есть всё, чтобы выделить полный квадрат:
Переносим слагаемые без x (то есть все, которые не наш полный квадрат) в правую часть со сменой знака.
И находим сначала два значения для x+(p/2):
Осталось сделать последний шаг и найти x из каждого из полученных линейных уравнений. Это даёт нам следующие решения:
Решаем обычное квадратное уравнение
Но это пока мы решали уравнение вида x²+px+q=0. Здесь коэффициент при x² равен 1. А как решать в более общем случае, когда уравнение имеет привычный для нас вид:
Давайте сделаем так, как обычно делают все математики, — сведём задачу к предыдущей, уже решённой. Для этого разделим уравнение ax²+bx+c=0 на a и тогда, коэффициент при x² будет равен единице. В итоге получим уравнение
Теперь проделаем ровно те же преобразования, что и ранее, но с учетом изменившихся коэффициентов:
Корни мы уже нашли, но они представлены в неудобной форме. Давайте вынесем из-под корня точный квадрат, который находится в знаменателе дроби внутри корня.
И теперь, наконец, внесём оба слагаемых в каждом из корней под общий знаменатель, чтобы получить привычный нам вид.
***
Возвращаясь к вопросу «А что же такое дискриминант?», обратите внимание на вот это промежуточное преобразование:
Выражение D = b²—4ac в числителе справа и есть дискриминант. Термин образован от слова discrimino — «разбираю», «различаю». Именно благодаря этому выражению (а точнее его знаку) мы понимаем, сколько корней будет иметь наше уравнение.