Выберите все верные равенства.
1. BP=CQ
По равным углам при основании, мы можем утверждать что треугольники BPC и BQC равносторонние. При чем BP=BC и CQ=BC, из чего однозначно следует, что BP=CQ.
2. BI=IC
3. BI=IP
4. BI=IA
5. BI=IQ
Рассмотрим треугольники CIQ и BIC. Они равны по 2м сторонам и углу между ними - сторона CI общая, CQ=BC это мы уже выяснили, и углы С равны по условию.
Выходит, что в треугольнике BQC углы B и Q образованы путем вычитания из угла обозначенного душкой угла обозначенного перечеркнутой душкой, а значит углы равны и треугольник равнобедренный.
6. ∠BIC=∠BIP
Рассмотрим треугольники BIC и BIP, углы В равны по условию, BP=BC это мы уже давно поняли и сторона BI общая - треугольники равны, а значит и соответствующие угла равны.
7. ∠BIP=∠CIQ
Рассмотрим треугольники BIC и CIQ. Они равны. То что CQ=BC мы знаем еще с первого пункта, сторона CI общая и угол между ними равен по условию.
Пунктом выше мы выяснили, что треугольники BIC и BIP равны, значит равны и CIQ и BIP, ну и их соответствующие углы.
8. ∠BIQ=∠QIP
9. ∠BIQ=∠PIC
Рассмотрим треугольники BAQ и CAP. Углы А в них вертикальные, а значит равны, значит суммы двух других углов тоже равны.
Обозначим для удобства угол отмеченный одной душкой за у, а перечеркнутой душкой за х, двумя душками за z, а дважды перечеркнутую душку за w.
Тогда в BAQ и CAP суммы углов B и Q = сумме углов Р и С.
y - 2x + y = z + z - 2w
2y-2x=2z-2w
Возвращаемся к треугольнику BIQ.
∠BIQ= 180 - (у-х) - (у-х) = 180 - (2у - 2х)
Теперь смотрим на треугольник PIC.
∠PIC= 180 - (z-w) - (z-w) = 180 - (2z - 2w)
10. ∠BIQ=∠BAQ
Обозначим для удобства угол отмеченный одной душкой за у, а перечеркнутой душкой за х. То что IQC равен х мы уже поняли в пятом пункте.
Теперь находим углы.
∠BIQ= 180 - (у-х) - (у-х) = 180 - 2у + 2х
∠BAQ=180- у - (у - 2х) = 180 - 2у +2х