Разберём понятие непрерывности функции, классификацию точек разрыва, а далее рассмотрим распространённую практическую задачу исследования функции на непрерывность.
Что нужно знать и уметь? для качественного усвоения необходимо понимать, что такое предел функции и посмотреть геометрический смысл предела. Также желательно ознакомиться с графиками элементарных функций, поскольку практика предполагает построение чертежа.
Рассмотрим некоторую функцию непрерывную на всей числовой прямой – то есть непрерывную на множестве действительных чисел
Как пример приведем еще один график функции
данная функция определена на всей числовой прямой, то есть область определения этой функции – множество вещественных чисел. Однако эта функция не является непрерывной на этом множестве вещественных чисел! Очевидно, что в точке х=к она терпит разрыв. Термин вполне вразумителен и нагляден, действительно, карандаш здесь придётся оторвать от бумаги.
Непрерывность функции в точке
В математических задачах речь может идти о непрерывности функции в точке, непрерывности функции на интервале, полуинтервале или непрерывности функции на отрезке. То есть, не существует «просто непрерывности» – функция может быть непрерывной ГДЕ-ТО. И основополагающим «кирпичиком» всего остального является непрерывность функции в точке.
Сейчас поговорим о существовании и нахождении предела функции в точке. Все основывается на определении односторонних пределов.
Рассмотрим график произвольной функции y=f(x):
Если приближаться по оси OX к точке k слева (красная стрелка), то соответствующие значения «игреков» будут идти по оси OY к точке m (малиновая стрелка). Математически это обозначается с помощью левостороннего предела (нахождение предела функции слева):
Если приближаться к точке «k» справа (синяя стрелка), то «игреки» придут к тому же значению m, но уже по зелёной стрелке, и правосторонний предел (нахождение предела функции справа) оформится следующим образом:
Если односторонние пределы конечны и равны как в случае функции на последнем рисунке, то имеем выражение
И будем говорить, что существует ОБЩИЙ предел
Всё просто, общий предел – это «обычный» предел функции, равный конечному числу.
Замечание: Предел функции f(x) в точке k бесконечен, если пределы слева и справа k бесконечны.
Теперь сформулируем определение непрерывности функции в трех условиях: функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:
1) Функция должна быть определена в точке k, то есть должно существовать значение f(k).
2) Должен существовать общий предел функции
Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов:
3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке:
Если нарушено хотя бы одно из трёх условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке k и говорят, что в данной точке функция терпит разрыв по определению.
Точки разрыва - классификация
Увлекательная жизнь функций богата особенными точками, и точки разрыва лишь один скелет в шкафу их биографии. Данные точки в свою очередь подразделяются на две группы: разрывы первого и второго рода. У каждого типа разрыва есть свои характерные особенности, которые сейчас и рассмотрим.
Точка разрыва первого рода
Если в точке k нарушено условие непрерывности и односторонние пределы конечны, то она называется точкой разрыва первого рода.
Рассмотрим на чертеже график функции
Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки x=0 (в самом деле, знаменатель же не может быть равен нулю). Но в соответствии со смыслом предела – мы можем бесконечно близко приближаться к «нулю» и слева и справа
Значит условие № 2 непрерывности выполнено. Но функция не определена в точке x=0, следовательно, нарушено условие № 1 непрерывности, и данная функция терпит разрыв в этой точке х=0.
Разрыв такого вида (с существующим общим пределом) называют устранимым разрывом, потому что функцию можно доопределить в точке разрыва:
Выполним формальную проверку:
Определение устранимого разрыва первого рода:
Второй, печальный случай носит название разрыва первого рода со скачком. А односторонние пределы, которые конечны и различны. Пример изображён на этом чертеже ниже
Такой разрыв возникает, как правило, в кусочно-заданных функциях. Сейчас интересна только точка x=2. Исследуем её на непрерывность используя чертеж:
1) f(2)=0 – функция определена в данной точке.
2) вычислим односторонние пределы:
слева у нас красный отрезок прямой, поэтому левосторонний предел:
В результате получены конечные числа, не равные друг другу. Поскольку односторонние пределы конечны и различны:
то наша функция терпит разрыв первого рода со скачком. Этот разрыв не устраним – функцию действительно не доопределить и «не склеить», как в примере ранее.
Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции):
Точки разрыва второго рода - бесконечный разрыв – когда левосторонний или правосторонний, а чаще, оба предела бесконечны.
Рассмотрим график такой функции
Исследуем на непрерывность точку x=0 по стандартному плану:
1) знаменатель обращается в ноль – значит функция не определена в данной точке.
Конечно, можно сразу сделать вывод о том, что функция терпит разрыв в точке x=0, но нужно классифицировать характер разрыва, что часто требуется по условию задания. Для этого:
2) вычислим односторонние пределы:
Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке x=0. (Ось ординат является вертикальной асимптотой для графика)
Встречаются случаи, когда оба односторонних предела существуют, но бесконечен только один из них, например:
Исследуем на непрерывность точку x=2 используя предложенный график:
1) Функция не определена в данной точке (видим выколотую точку на чертеже).
2) Односторонние пределы:
Левосторонний предел конечен и равен нулю (в саму точку «не заходим»), но правосторонний предел бесконечен и желтая ветка графика бесконечно близко приближается к своей вертикальной асимптоте, заданной уравнением x=2 (чёрный пунктир).
Таким образом, предложенная функция терпит разрыв второго рода в точке x=2.
Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв):
Исследование функции на непрерывность в точке проводится по схеме из трех условий непрерывности – в следующих постах рассмотрим разбор примеров решения таких заданий.
Есть вопросы? Пожелания? Обращайтесь - контакты для связи