Сириус. Дополнительные главы алгебры. 7 класс. Формулы сокращённого умножения.

Даны пять чисел. Когда каждое из них увеличили на 1, сумма их квадратов не изменилась. Потом каждое число ещё раз увеличили на 1. Найдите разность между суммой квадратов полученных чисел и суммой квадратов изначальных чисел.

Ну хорошо, смотрим что выходит.

Есть 5 чисел - а1, а2, а3, а4, а5

Сумма их квадратов - а1^2+ а2^2+ а3^2+ а4^2+ а5^2

Если увеличить а1 на 1 и возвести эту конструкцию в квадрат, получим

(а1+1)^2= а1^2 + 2*а1 +1

А если мы так поступим со всеми пятью числами и сложим их, то получим сумму квадратов изначальных чисел + (2*а1 + 2*а2 + 2*а3 + 2*а4 + 2*а5) +5.

По условию мы знаем, что вот такая сумма квадратов увеличенных чисел на 1 не изменилась, значит

(2*а1 + 2*а2 + 2*а3 + 2*а4 + 2*а5) +5 = 0

2*а1 + 2*а2 + 2*а3 + 2*а4 + 2*а5 = -5

Теперь увеличиваем число а1 еще на 1.

(а1+2)^2= а1^2 + 4*а1 + 4

Опять поступаем так же с остальными числами и суммируем их. Получаем сумму квадратов изначальных чисел + (4*а1 + 4*а2 + 4*а3 + 4*а4 + 4*а5) +5*4

Разница между суммой квадратов полученных чисел и суммой квадратов изначальных чисел равна

(4*а1 + 4*а2 + 4*а3 + 4*а4 + 4*а5) +5*4 = 2*(2*а1 + 2*а2 + 2*а3 + 2*а4 + 2*а5) + 20 = 2*(-5)+20 = 10

Ответ: 10

Остальные задачи курса