Общим кратным нескольких чисел называется число, которое является кратным для каждого из них.
Пример: Числа 2 и 3 имеют общее кратное 6, так как 6 делится без остатка и на 2 и на 3. Число 24 также общее кратное чисел 2 и 3 (24÷2=12, 24÷3=8).
Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее.
Наименьшим общим кратным нескольких данных чисел называется самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел.
Для краткой записи наименьшего общего кратного используют аббревиатуру НОК. Для двух чисел a и b наименьшее общее кратное обозначают как НОК(a,b), для трех чисел a, b и c – НОК(a,b,c) и так далее.
Пример: Числа 5 и 6 имеют наименьшее общее кратное 30 (30÷5=6, 30÷6=5), то есть НОК(5,6)=30.
Для небольших чисел НОК находится подбором.
Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.
Первый способ заключается в поиске первых нескольких кратных данных чисел и в выборе наименьшего из них.
Пример: Найдем наименьшее общее кратное чисел 4 и 14. Определим первые кратные для заданных чисел, для этого поочередно умножим числа 4 и 14 на все числа от 1 до 10. Кратные выделим красным цветом.
Найдем общие кратные чисел 4 и 14 (подчеркнем зеленым) и выберем из них наименьшее.
Таким образом, НОК(4, 14)=28.
Второй способ – нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких данных чисел, необходимо разложить их на простые множители; затем, взяв разложение одного из них, приписать к нему недостающие простые множители из разложения другого числа; к этому произведению приписать недостающие в нем простые множители из разложения третьего числа и так далее до последнего. Полученное таким путем произведение будет наименьшим общим кратным данных чисел.
Пример: Найдем наименьшее общее кратное чисел 18 и 48. Разложим на простые множители числа 18 и 48 (алгоритм разложения на простые множители был рассмотрен в статье: Конспект № 15. Тема: «Разложение чисел на простые множители»).
Выпишем разложение числа 18 – это произведение 2×3×3 и припишем к нему недостающие простые множители из разложения числа 48.
Таким образом, НОК(18, 48)=2×3×3×2×2×2=18×2×2×2=144.
Третий способ – нахождение НОК посредством нахождения НОД.
Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению этих чисел, деленному на их наибольший общий делитель, то есть НОК(a, b)= a×b÷НОД(a, b).
Пример: Найдем наименьшее общее кратное чисел 84 и 70. Воспользуемся связью НОК и НОД: НОК(a, b)= a×b÷НОД(a, b). Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 84 и 70.
Итак, НОД(84, 70)=14. Таким образом, НОК(84, 70)= 84×70÷14=420.
Чтобы найти наименьшее общее кратное трех или более чисел, находим сначала наименьшее общее кратное каких-нибудь двух из них, затем – наименьшее общее кратное найденного наименьшего кратного и какого-нибудь третьего данного числа, далее – наименьшее общее кратное последнего наименьшего кратного и четвертого данного числа и так далее.
Предыдущая статья: Конспект № 16. Тема: «Наибольший общий делитель (НОД)».