🔹 Подборка Повторяем математику 7 класс здесь
🤩 Поддержи меня лайком, комментарием или подпиской! 😇
Вот какие задания рассмотрим сегодня:
В прошлый раз мы повторяли общую информацию про системы линейных уравнений - что это, что идет в ответ, метод подстановки, метод сложения, графический метод:
🤓🤓🤓 Если вы пропустили это занятие, то советую его посмотреть, если в сегодняшних заданиях будут возникать вопросы
📢📢📢 Ответы на задания РЕШИ САМ с предыдущего занятия Системы линейных уравнений. Метод подстановки, метод сложения, графический метод:
👇👇👇👇👇👇👇👇👇👇
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
В прошлый раз мы разобрали в общем системы линейных уравнений, рассмотрели метод подстановки, метод сложения, графический метод только по одному примеру.
Сегодня будем решать все задания всеми тремя методами, где это возможно, а также будем учиться рассуждать, почему в данном задании тот или иной метод удобнее.
Также будем делать проверку и записывать ответ.
😎 Советую и вам так всегда делать, даже если этого не требует ваш учитель.
Давайте перейдем к нашим сегодняшним заданиям.
Системы уравнений для заданий я брала из учебника Алгебры для 7 класса (А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир., 2016)
Задание 1. Какая из пар чисел (-2 ; 1), (2; -1), (6; 4), (8; -4) является решением системы уравнений:
Чтобы проверить, является ли пара чисел решением системы, нужно подставить эти числа в систему. Если оба уравнения дадут верные числовые равенства, то пара чисел является решением системы. Если же хотя бы одно уравнение даст неверное числовое равенство, то пара чисел не является решением системы.
Подставим первую пару чисел (-2; 1):
Подставим вторую пару чисел (2; -1):
Подставим третью пару чисел (6; 4):
Подставим четвертую пару чисел (8; -4):
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 2. Решите систему уравнений
Данная система состоит из двух линейных уравнений, с двумя неизвестными х,у.
Мы можем решить ее методом подстановки, методом сложения и графически.
На прошлом занятии разбирали эти методы:
Задание 2. Метод подстановки
В методе подстановки проговариваем скороговорку: "Из одного выразили, в другое подставили!". Так как система выглядит довольно просто, то у нас есть свобода выбора - какую именно переменную выражать и из какого уравнения. Мы можем выразить из (1) х и у, из (2) легче, конечно, выразить у. Абсолютно нет разницы, какой вариант вы выберите, ответ должен быть одинаковый! Давайте сейчас выразим из (1) у, а затем подставим его во (2). Другие варианты можете проверить самостоятельно, по аналогии.
Задание 2. Метод сложения
В методе сложения мы можем складывать, вычитать уравнения друг из друга. Также при необходимости имеем право умножить уравнение на число и после этого сложить или вычесть уравнения. Главное - при этом одна неизвестная должна пропасть, а другая остаться.
Порассуждаем, какие действия нам сделать с нашей системой, чтобы одна неизвестная пропала. Первый вариант: если мы сложим уравнения, то х останется, а у пропадет. Второй вариант: также можно было бы умножить (1) на 4, чтобы получилось 4х, и после этого вычесть уравнения. Тогда х пропадет, а у останется. Конечно же, проще и быстрее сделать первым вариантом, чем вторым. Поэтому сейчас решим первым вариантом. Если у вас есть желание - вторым вариантом можете решить самостоятельно.
Проверка будет такая же, как мы делали в методе подстановки. Проверка от метода решения не зависит. К тому же, значения х и у получились такие же. Значит, все верно.
Задание 2. Графический метод
В графическом методе мы должны сначала выразить у из (1) и (2), обозначить их у1 и у2, построить графики полученных функций и найти точку пересечения. В ответ пойдут координаты этой точки.
При графическом методе решения обязательно делать проверку! Проверка будет такая же, как мы уже делали после метода подстановки.
Рассуждения по заданию 2 в целом:
Система выглядит довольно просто, что позволяет решить ее одинаково легко всеми тремя способами. Единственное, что нужно помнить - графический метод является неудобным, т.к. можно исказить, например, угол наклона при построении, и тогда точка пересечения съедет со своего "истинного" места.
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 3. Решите систему уравнений
Данная система состоит из двух линейных уравнений, с двумя неизвестными х,у.
Мы можем решить ее методом подстановки, методом сложения и графически.
На прошлом занятии разбирали эти методы:
Задание 3. Метод подстановки
В методе подстановки проговариваем скороговорку: "Из одного выразили, в другое подставили!". Так как система выглядит довольно просто, то у нас есть свобода выбора - какую именно переменную выражать и из какого уравнения. Мы можем выразить из (1) х и у, из (2) легче, конечно, выразить х. Абсолютно нет разницы, какой вариант вы выберите, ответ должен быть одинаковый! Давайте сейчас выразим из (2) х, а затем подставим его в (1). Другие варианты можете проверить самостоятельно, по аналогии.
Задание 3. Метод сложения
В методе сложения мы можем складывать, вычитать уравнения друг из друга. Также при необходимости имеем право умножить уравнение на число и после этого сложить или вычесть уравнения. Главное - при этом одна неизвестная должна пропасть, а другая остаться.
Порассуждаем, какие действия нам сделать с нашей системой, чтобы одна неизвестная пропала. Первый вариант: если мы из (1) вычтем (2), то х пропадет, а у останется. Второй вариант: также можно было бы умножить (1) на 2, чтобы получилось -2у, и после этого сложить уравнения. Тогда у пропадет, а х останется. Конечно же, проще и быстрее сделать первым вариантом, чем вторым. Поэтому сейчас решим первым вариантом. Если у вас есть желание - вторым вариантом можете решить самостоятельно.
Проверка будет такая же, как мы делали в методе подстановки. Проверка от метода решения не зависит. К тому же, значения х и у получились такие же. Значит, все верно.
Задание 3. Графический метод
В графическом методе мы должны сначала выразить у из (1) и (2), обозначить их у1 и у2, построить графики полученных функций и найти точку пересечения. В ответ пойдут координаты этой точки.
При графическом методе решения обязательно делать проверку! Проверка будет такая же, как мы уже делали после метода подстановки.
Рассуждения по заданию 3 в целом:
Система выглядит довольно просто, что позволяет решить ее одинаково легко всеми тремя способами. Единственное, что нужно помнить - графический метод является неудобным, т.к. можно исказить, например, угол наклона при построении, и тогда точка пересечения съедет со своего "истинного" места.
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 4. Решите систему уравнений
Данная система состоит из двух линейных уравнений, с двумя неизвестными х,у.
Мы можем решить ее методом подстановки, методом сложения и графически.
На прошлом занятии разбирали эти методы:
Задание 4. Метод подстановки
В методе подстановки проговариваем скороговорку: "Из одного выразили, в другое подставили!". Здесь легче всего выразить именно у из (2). Чисто теоретически, можно было бы, конечно, выразить х из (1), или у из (1), или х из (2). Но во всех этих случаях еще нужно избавляться от умножающегося числа, что немного неудобнее. Абсолютно нет разницы, какой вариант вы выберите, ответ должен быть одинаковый! Давайте сейчас выразим из (2) у, а затем подставим его в (1). Другие варианты можете проверить самостоятельно, по аналогии.
Задание 4. Метод сложения
В методе сложения мы можем складывать, вычитать уравнения друг из друга. Также при необходимости имеем право умножить уравнение на число и после этого сложить или вычесть уравнения. Главное - при этом одна неизвестная должна пропасть, а другая остаться.
Порассуждаем, какие действия нам сделать с нашей системой, чтобы одна неизвестная пропала.
Если мы сложим или вычтем уравнения, то никакая неизвестная не пропадет. Так что самый простой вариант отпадает.
Значит, сначала придется умножать уравнение на какое-то число. Порассуждаем и про х, и про у.
Первый вариант. Посмотрим на слагаемые с х: 2х и 3х. Чтобы пропал х, нам нужно (1) умножить на 3, а (2) умножить на 2, тогда и в (1), и во (2) получится одинаково: 6х. И после этого уже можно из (1) вычесть (2). Тогда х пропадет, у останется.
Второй вариант. Посмотрим на слагаемые с у: 3у и -у. Чтобы пропал у, нам нужно (2) умножить на 3, тогда и в (1), и во (2) получится одинаково по модулю: 3у и -3у. И после этого уже можно сложить уравнения. Тогда у пропадет, х останется.
📢📢📢 Лично мне больше никакие варианты в голову не приходят. Если вы что-то придумаете - напишите, пожалуйста, в комментариях.
Конечно же, проще и быстрее сделать вторым вариантом, чем первым. Поэтому сейчас решим вторым вариантом. Если у вас есть желание - первым вариантом можете решить самостоятельно.
Проверка будет такая же, как мы делали в методе подстановки. Проверка от метода решения не зависит. К тому же, значения х и у получились такие же. Значит, все верно.
Задание 4. Графический метод
В графическом методе мы должны сначала выразить у из (1) и (2), обозначить их у1 и у2, построить графики полученных функций и найти точку пересечения. В ответ пойдут координаты этой точки.
При графическом методе решения обязательно делать проверку! Проверка будет такая же, как мы уже делали после метода подстановки.
Рассуждения по заданию 4 в целом:
Так как в системе почти везде неизвестные умножаются на коэффициенты, то, на мой взгляд, проще всего ее решать именно методом подстановки. В методе сложения пришлось умножать одно из уравнений. В графическом методе одна из функций получилась с дробным коэффициентом. Также не забывайте, что графический метод является неудобным, т.к. можно исказить, например, угол наклона при построении, и тогда точка пересечения съедет со своего "истинного" места.
Вообще, метод подстановки самый универсальный, им можно решить большинство систем уравнений.
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 5. Решите систему уравнений
Данная система состоит из двух линейных уравнений, с двумя неизвестными х,у.
Мы можем решить ее методом подстановки, методом сложения и графически.
На прошлом занятии разбирали эти методы:
Задание 5. Метод подстановки
В методе подстановки проговариваем скороговорку: "Из одного выразили, в другое подставили!". Здесь легче всего выразить именно у из (1). Чисто теоретически, можно было бы, конечно, выразить х из (1), или у из (2), или х из (2). Но во всех этих случаях еще нужно избавляться от умножающегося числа, что немного неудобнее. Абсолютно нет разницы, какой вариант вы выберите, ответ должен быть одинаковый! Давайте сейчас выразим из (1) у, а затем подставим его во (2). Другие варианты можете проверить самостоятельно, по аналогии.
В случаях, когда нет решений, проверку выполнить невозможно.
Уравнения, когда пропадает неизвестная, мы разбирали на этом занятии, смотри уравнения 5, 6:
Задание 5. Метод сложения
В методе сложения мы можем складывать, вычитать уравнения друг из друга. Также при необходимости имеем право умножить уравнение на число и после этого сложить или вычесть уравнения. Главное - при этом одна неизвестная должна пропасть, а другая остаться.
Порассуждаем, какие действия нам сделать с нашей системой, чтобы одна неизвестная пропала.
Если мы сложим или вычтем уравнения, то никакая неизвестная не пропадет. Так что самый простой вариант отпадает.
Значит, сначала придется умножать уравнение на какое-то число. Порассуждаем и про х, и про у.
Первый вариант. Посмотрим на слагаемые с х: 2х и 6х. Чтобы пропал х, нам нужно (1) умножить на 3, тогда и в (1), и во (2) получится одинаково: 6х. И после этого уже можно из (1) вычесть (2). Тогда х пропадет.
Второй вариант. Посмотрим на слагаемые с у: у и 3у. Чтобы пропал у, нам нужно (1) умножить на 3, тогда и в (1), и во (2) получится одинаково: 3у. И после этого уже можно из (1) вычесть (2). Тогда у пропадет.
📢📢📢 Лично мне больше никакие варианты в голову не приходят. Если вы что-то придумаете - напишите, пожалуйста, в комментариях.
Первый и второй вариант вообще ничем не отличаются друг от друга, так что просто выбираем любой из них. Давайте сейчас решим вторым вариантом. Если у вас есть желание - первым вариантом можете решить самостоятельно.
Здесь пропали сразу обе неизвестные, и так как получилось неверное числовое равенство - пишем в ответ "решений нет".
Задание 5. Графический метод
В графическом методе мы должны сначала выразить у из (1) и (2), обозначить их у1 и у2, построить графики полученных функций и найти точку пересечения. В ответ пойдут координаты этой точки.
Как видно, в формулах у1 и у2 угловые коэффициенты одинаковые: k1=k2=-2, это означает, что угол наклона будет одинаковый, т.е. прямые пройдут параллельно друг другу. А вот коэффициент b разный: b1=-2; b2=3, значит, график у1 будет сдвинут вниз на 2, а график у2 - вверх на 3.
Получается, если вы ориентируетесь в свойствах коэффициентов k, b линейной функции, то можете сделать вывод о том, что прямые будут параллельны и нигде и никогда не пересекутся, даже не строя графики! А если нет точки пересечения - то и нет решений.
Разбирались с коэффициентами линейной функции на этих занятиях:
Сейчас давайте все-таки построим графики наших функций, и все посмотрим наглядно:
Рассуждения по заданию 5 в целом:
Как видно, все три метода дали один и тот же ответ.
Кстати, можно было бы даже и не решать полноценно систему. Если присмотреться к уравнениям, то можно заметить, что левая часть второго уравнения - это левая часть первого, умноженная на 3. А вот правые части не имеют такой связи:
Теперь получается, что левые части совпали, а правые нет. Но такого не может быть! Поэтому и нет решений.
У вас может возникнуть вопрос: что делать, если переменная пропала, а числовое равенство получилось верное? Писать в ответ, что х,у - любые? Нет, тут не все так просто. Если у вас пропал х, и получилось верное числовое равенство, то получается, что х - любое. Какой графической интерпретации это соответствует? Нарисуем схематично:
И если мы напишем в ответ х и у - любые, то значит мы имеем в виду вообще любые точки плоскости! А нам нужны только точки, где совпали обе прямые. Это делается через свободную и зависимую переменные, проходят это в ВУЗе. Кратко скажу, ответ будет выглядеть примерно так:
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 6. Решите систему уравнений
Данная система состоит из двух линейных уравнений, с двумя неизвестными х,у.
Мы можем решить ее методом подстановки, методом сложения и графически.
На прошлом занятии разбирали эти методы:
Задание 4. Метод подстановки
В методе подстановки проговариваем скороговорку: "Из одного выразили, в другое подставили!". Здесь уже выражен х в (1) уравнении, так что можно этим воспользоваться и сразу подставить его во (2). Чисто теоретически, можно было бы, конечно, выразить у из (1), или х из (2), или у из (2). Но зачем нам делать лишние операции? Абсолютно нет разницы, какой вариант вы выберите, ответ должен быть одинаковый! Давайте сейчас подставим х из (1) во (2). Другие варианты можете проверить самостоятельно, по аналогии.
Задание 6. Метод сложения
В методе сложения мы можем складывать, вычитать уравнения друг из друга. Также при необходимости имеем право умножить уравнение на число и после этого сложить или вычесть уравнения. Главное - при этом одна неизвестная должна пропасть, а другая остаться.
Порассуждаем, какие действия нам сделать с нашей системой, чтобы одна неизвестная пропала.
Первый вариант. Можно из (1) вычесть (2), тогда одинаковые х пропадут, а у останется. Это самый простой вариант.
Второй вариант. Посмотрим на слагаемые с у: 6у и 5у. НО! Чтобы определять, какое действие нужно применить, у должны находиться в левых частях уравнений! Поэтому нужно сначала переписать первое уравнение так: х-6у=0. Значит, на самом деле, слагаемые с у такие: -6у и 5у. Следовательно, надо (1) умножить на 5, а (2) умножить на 6, тогда и в (1), и во (2) получится одинаково по модулю: -30у и 30у. И после этого сложить уравнения. Тогда у пропадет, х останется.
📢📢📢 Лично мне больше никакие варианты в голову не приходят. Если вы что-то придумаете - напишите, пожалуйста, в комментариях.
Конечно же, проще и быстрее сделать первым вариантом, чем вторым. Поэтому сейчас решим первым вариантом. Если у вас есть желание - вторым вариантом можете решить самостоятельно.
Проверка будет такая же, как мы делали в методе подстановки. Проверка от метода решения не зависит. К тому же, значения х и у получились такие же. Значит, все верно.
Задание 6. Графический метод
В графическом методе мы должны сначала выразить у из (1) и (2), обозначить их у1 и у2, построить графики полученных функций и найти точку пересечения. В ответ пойдут координаты этой точки.
Лично я бы не рассматривала вообще графический способ для данной системы, т.к. во (1) есть довольно крупное число 88. Значит, у функции у2 будет неудобный коэффициент. Давайте попробуем выразить функции и построить их графики для интереса.
Как видно, для решения данной системы уравнений графический метод вообще не подходит.
Рассуждения по заданию 6 в целом:
Так как в системе коэффициенты у неизвестной х равны 1, то система одинаково легко решается методом подстановки и сложения. Из-за других неудобных коэффициентов графическим методом решить не удалось. Поэтому еще до решения обращайте внимание на коэффициенты и оценивайте - каким способом будет проще всего решить.
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 7. Решите систему уравнений
Данная система состоит из двух линейных уравнений, с двумя неизвестными х,у. 👆 Несмотря на наличие дробей в (1), первое уравнение все равно является линейным, т.к. в знаменятелях дробей нет неизвестных.
Чисто теоретически, мы можем решить такую систему методом подстановки, методом сложения и графически.
На прошлом занятии разбирали эти методы:
Задание 7. Метод подстановки
В методе подстановки проговариваем скороговорку: "Из одного выразили, в другое подставили!". Сейчас здесь проще всего выразить у из (2). Чисто теоретически, можно было бы, конечно, выразить у из (1), или х из (2), или у из (1).
Но сначала давайте упростим первое уравнений - мы можем избавиться от знаменателей. Для этого умножим (1) на 6, тогда оба знаменателя пропадут:
Опять давайте проверим, что лучше выразить. Все неизвестные умножены на коэффициенты, кроме у во (2). Значит, так и получается - проще всего выразить у из (2) и подставить в (1). Сейчас так и решим. Если у вас будет желание - можете самостоятельно решить, выразив переменную по-другому.
📢📢📢 Обращаю ваше внимание: проверку всегда-всегда делаем по исходному заданию! Почему нельзя проверять по упрощенной системе? Представьте, что пока вы упрощали первое уравнение, допустили ошибку, например, при умножении на 6. Тогда упрощенная система уже будет с ошибкой. И если вы проверку сделаете по упрощенной ошибочной системе - то получите два верных числовых равенства. То есть получается, что вы верно нашли решение упрощенной ошибочной системы, но не исходной!!!
Рассуждения по заданию 7 в целом:
Для метода сложения и для графического метода точно так же нужно будет избавляться от знаменателей.
Для метода сложения придется еще раз умножать либо второе уравнение, либо оба уравнения, и только потом вычитать. Это сложнее и дольше, чем метод подстановки.
Для графического метода опять, как и в задании 6, неудобные коэффициенты, поэтому нет смысла его рассматривать.
🤓 Как я и говорила выше - метод подстановки - самый универсальный!
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 8. Решите систему уравнений
Данная система состоит из двух линейных уравнений, с двумя неизвестными х,у. 👆 Несмотря на наличие дробей в (1) и (2), оба уравнения все равно являются линейными, т.к. в знаменятелях дробей нет неизвестных.
Чисто теоретически, мы можем решить такую систему методом подстановки, методом сложения и графически.
На прошлом занятии разбирали эти методы:
Сейчас система выглядит, мягко говоря, неудобно.
Поступим так же, как и в задании 7 - сначала упростим систему. Избавимся от знаменателей в обоих уравнениях, для этого умножим (1) на 12, а (2) на 6:
Вот теперь порассуждаем - каким методом лучше решить такую систему:
Во всех слагаемых неизвестные умножаются на коэффициенты, значит, для метода подстановки придется избавляться от этих чисел. Неудобно, но реально сделать.
Для метода сложения удобные слагаемые с х: 51х и 3х. То есть мы можем (2) умножить на 17, тогда и в (1), и в (2) будет одинаково: 51х. После этого вычитаем уравнения, х пропадает, у остается.
Графический метод для системы с такими коэффициентами даже и рассматривать не стоит.
Сейчас решим методом сложения. Если у вас есть желание - можете самостоятельно решить методом подстановки, при этом сами определите, какую неизвестную выражать.
Задание 8. Метод сложения
Мы уже определились как решать: умножаем (2) на 17, потом из (1) вычитаем (2):
📢📢📢 Обращаю ваше внимание: проверку всегда-всегда делаем по исходному заданию! Почему нельзя проверять по упрощенной системе? Представьте, что пока вы упрощали систему, допустили ошибку, например, при умножении. Тогда упрощенная система уже будет с ошибкой. И если вы проверку сделаете по упрощенной ошибочной системе - то получите два верных числовых равенства. То есть получается, что вы верно нашли решение упрощенной ошибочной системы, но не исходной!!!
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Реши сам - задания для тренировки:
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Смотри 6 простых систем в этой ссылке:
Смотри множество заданий для тренировки в этой ссылке:
🤔🤔🤔 Как проверить - правильно вы решили или нет??
😎 Первое - делайте проверку!
😎😎 Второе - решайте разными способами!
⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜
✅ Оглавление:
🔹 Подборка Повторяем математику 7 класс здесь
🧭 Путеводитель по каналу Подслушано по Математике здесь
📢 Телеграм-канал Подслушано по Математике здесь