Здравствуйте! Продолжаем решать задачи с параметром из сборника задач Сканави. Разминались мы тут:
1. Система уравнений с тремя неизвестными
При каком целом значении k один из корней уравнения 4x^2-(3k+2)x+(k^2-1)=0 втрое меньше другого?
- В разминке мы уже выясняли, что проще всего анализировать с помощью теоремы Виета.
- Приводим квадратное уравнение и выписываем стандартные сочетания: x1x2 и x1+x2.
- Также, есть информация о соотношении корней: один из них втрое больше (или меньше) другого. Получается три условия, которые мы объединяем в систему. Перечитываем вопрос: найти целое k.
- Выражаем строчки так, чтобы иксы пропали, а k можно было бы найти.
В первую строчку подставим x2, полученное во втором с помощью третьей. Преобразуем и решаем квадратное уравнение.
Здесь я подробно расписала как найти сложный дискриминант. Если хотите отдельную статью на эту тему дайте знать:)
Уот так уот мы получаем ответ, отбирая корень по принципу "k должно быть целое"
2. Зачем знать графики, даже если мы их не строим
При каком целом значении p уравнения 3x^2-4x+p-2=0 и x^2-2px+5=0 имеют общий корень? Найти этот корень.
Общий корень может быть, если графики функций пересекаются. Перед нами две однозначно квадратичные фунции (оба коэффициента перед x^2 не равны нулю и не содержат параметры, которые могли бы обнулить их) => это две параболы. Параболы могут иметь две точки пересечения, нас интересует хотя бы одна, при которой параметр p будет целый.
По такому поводу решим систему уравнений. Порядок задания таков: сначала найдем p, а потом икс. Мы поступим наоборот просто потому что так проще.
Один из корней мы нашли подбором по теореме Безу.
Если сократить информацию выше: выписываем все делители свободого члена (5) и поочередно подставляем. Если многочлен обнулился => это был корень. Делим в столбик. Про деление в столбик многочленов тоже сделаю отдельную статью:)
После деления и понижения степени мы получаем квадратное уравнение, которое решается через дискриминант.
Итого у нас два различных корня, найдем p для каждого из них. В случае с целым p получается ответ. Эта парочка и есть наше решение)