Здравствуйте! Сегодня у нас разминка, способы преобразования квадратных уравнений. Мы наглядно увидим, насколько уравнения могут быть пластичными, а также, что не обязательно решать эти уравнения, чтобы выполнить преобразования или сделать вывод.
Введение
Для начала стоит вспомнить формулы, которыми мы будем оперировать:
В решениях ниже периодически вместо коэффициентов a,b и c встречаются другие переменные (m, n и p). Это сделано исключительно для упрощения и понимания того, что у нас уже ДРУГОЕ уравнение.
Приступим.
Задание 1. Уравнение-конструктор
Не решая уравнения ax^2+bx+c=0, найти x1^(-2)+x2^(-2), где x1 и x2 - корни данного уравнения.
Самое главное в этом решении - преобразовать начальное условие (x1^(-2)+x2^(-2)) в адекватный вид. Приводим к общему знаменателю, а дальше наша цель - получить то, что уже было выведено по теореме Виета. Т.е. суммы и произведения. После недолгих мучений мы получаем готовый шаблон, куда идеально встраиваются уже известные нам элементы. Досчитываем и готово!
Задание 2. Новое - хорошо прорешанное старое
Составить квадратное уравнение с корнями 1/x1 и 1/x2, где x1 и x2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0.
Новое уравнение - новая переменная. Новая переменная - новые коэффициенты. Соотносим решения двух уравнений и получаем значения m,n и p через a,b и с.
Задание 3. Это корни или коэффициенты?
Составить уравнение второй степени, один из корней которого равен сумме, а другой - произведению корней уравнения ax^2+bx+c=0.
Тоже своеобразный конструктор, где мы раскладываем и получаем корни, о которых нам известно, что они - сумма и произведение корней 🤯. В данном случаем m=b/a, n=c/a. Опять-таки - упрощение.
Спасибо за просмотр, подписывайтесь!