То вам не бином Ньютона. А что же тогда нам бином Ньютона?
Двучлен, сумму двух слагаемых (a+b) называют биномом. И вот захотелось нам этот бином в степень возвести. Когда степень эта равна двум или трем (а еще лучше нулю или единице) проблем нет. Перемножаем скобки пару-тройку раз и готово.
Но что делать, если степень большая? Перемножать скобки становится муторно. Вот бы сразу узнать, какая будет формула, какие коэффициенты появятся при переменных в разных степенях.
Задачей этой беспокоились ученые задолго до Ньютона. К их числу относится, например, Омар Хайям, да-да тот самый из 11-го века, который сразу и математик, и поэт.
Другой персидский математик Насир ад-Дин ат-Туси во второй половине 13-го века создает таблицу для поиска коэффициентов при переменных. Таблица полезная, но очень большая, даже бесконечная.
Эта таблица имеет треугольную форму и замечательна тем, что в разных странах называется по именам тех ученых, которые исследовали и переоткрывали ее в разные эпохи. Во всем мире она обычно называется треугольником Паскаля, по имени французского математика, в Италии – треугольником Тартальи в честь итальянского математика Никколо Тартальи, а в Иране – треугольником Хайяма, в Китае - треугольник Ян Хуэя. Тысячи этих треугольников.
Как бы то ни было, уже до Ньютона были известны и формулы, и таблицы.
И вот Исаак «наше всё» Ньютон расширил эту формулу во второй половине 17-го века для случая дробных и отрицательных степеней. Благодаря этому мы можем быстро узнать коэффициенты при переменных в любых степенях, которые получаются при возведении бинома в степень.
Ньютон был человеком гениальным, а поэтому с него строгих доказательств своей формулы никто не спрашивал На слово поверили. За Ньютона доказательства привел молодой норвежский математик Нильс Абель только в начале 19-го века.