Каким образом размещение грузиков на пружинках и тросах спасает от разрушения здания, линии электропередач, трубы, нефтяные платформы, памятники и мосты? Принцип прост: не можешь победить колебания - возглавь. Или перенаправь.
Колебания - это повторяющийся во времени (целиком или частично) процесс изменения системы. Какой-либо. И oh boy, как много вещей попадают под это определение. Колебания могут быть механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Даже под самую простую модель описания колебаний очень хорошо ложится огромный класс задач. На одной такой задаче из области колебаний механических мы и остановимся.
Все мы помним картинку (рисунок 1а) из школьных уроков физики, на которой изображён грузик, соединённый пружиной со стенкой (инженеры видят в этой картинке ужасно много смысла). Замечательная в своей простоте задача - никакого трения, движение вдоль одной оси, ничего лишнего. Только вы, грузик, пружинка и расчёты. Идиллия.
Нарушим её, безжалостно пнув грузик. Как система будет себя вести? Сначала определимся, какие параметры есть у этой задачи:
1. Масса груза (m),
2. Жёсткость пружины (k),
3. Сила нашего пинка (пусть будет F).
Грузик начнёт совершать колебания, то есть перемещаться туда-сюда (рисунок 1б). Колебания эти будут гармонические, то есть происходящие по закону синуса или косинуса. Это движение характеризуется двумя параметрами:
1. Амплитуда (A) - как сильно трясётся груз?
2. Частота (p) - как быстро он это делает?
После пинка у движения груза будет сначала переходный процесс, а затем установившееся движение. Здесь и далее будем говорить только об установившемся движении (рисунок 1б).
Частота установившихся колебаний груза, который не испытывает нагрузок (пнули мы его лишь однажды и сейчас просто смотрим), называется собственной. Какой великий смысл несёт в себе это слово?
Собственная частота колебаний - принадлежащая как бы самой системе, то есть она, внимание, определяется конструктивными параметрами системы. Не внешним воздействием. Вот прям совсем, даже если очень сильно пнуть. Частота эта определяется как корень квадратный из (k/m) (рисунок 2а). Жёсткость пружины (k) и масса грузика (m) - это параметры системы, не имеющие отношения к внешним воздействиям.
С этим определились, добавим в систему немного экшена.
Вот представим себе, что вы начинаете качать туда-сюда этот груз, как всегда, по идеальному гармоническому закону, то есть синус там, косинус. Ни на секунду не перестаёте прикладывать силу. Это отличается от ситуации "пнул и отпустил". Груз будет двигаться вполне себе гармонично. Гармонически то есть. Но с какой частотой он будет это делать? Неужели снова собственной? А вот и нет. Он подчинится вынуждающей силе и будет двигаться с её частотой.*
Для того, чтобы увязать характеристики внешнего гармонического воздействия с тем, как система на него реагирует, существует амплитудно-частотная характеристика. АЧХ (рисунок 2б).
* Тут сразу примечание для тех, кому интересно. На самом деле в такой постановке задачи (без трения) груз будет двигаться не очень гармонически. Его движение будет определяться суммой собственных и вынужденных колебаний. Но когда говорят об АЧХ - имеют в виду именно возмущённую составляющую движения, так как в реальных конструкциях есть демпфирование, которое съедает собственную составляющую довольно быстро.
АЧХ буквально показывает нам - трясёшь систему гармонически с такой вот частотой (горизонтальная ось), получаешь вот такую амплитуду колебаний груза (вертикальная ось).
А теперь возьмём наше внешнее, всё ещё гармоническое, воздействие, да и настроим его аккурат в собственную частоту системы. Это вызовет резонанс. Буквально. Это резонанс по определению - частота внешней вынуждающей силы равна собственной частоте колебаний системы. Начнётся разнос. Теоретически, амплитуда колебаний грузика при резонансе улетает в бесконечность (рисунок 2б).
Смысл такой. Собственная частота - она естественна для системы. И вы эту естественность только подкрепляете на резонансе. В случае, если вы действуете частотой, отличной от резонансной - случаются ситуации, когда естество грузика толкает его, скажем, вперёд, а ваша навязчивая внешняя сила тянет его назад, потому что у неё другая частота. Вот и не получается уйти в бесконечность.
Усложним систему!
Добавим второй груз, привязав его пружинкой к первому, но не соединяя с землёй (рисунок 3а). Параметры первого и второго груза будем обозначать индексами 1 и 2, соответственно. Получается система с двумя степенями свободы, и говорят, что между первым и вторым грузом имеется упругая связь. Прикладывать силу к первому грузу не перестаём. Что нам это даёт? Естественно, видим, что и второй грузик начал совершать какие-то движения. Причина тряски второго груза - наличие этой самой упругой связи.
Есть ли в этой системе резонансы? Конечно! Причём не один, а целых джва. Причём определение резонанса не изменилось - он все ещё случается, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой колебаний системы. Частотами, точнее. Их теперь две. Вообще, сколько у системы степеней свободы - столько у неё и собственных частот. То есть у вас имеются разные варианты для вызова резонанса.
А как же определяются собственные частоты нашей двухгрузиковой системы? Тоже как корень из (k/m)? А вот и нет. Собственные частоты - это характеристики СИСТЕМЫ. Всей целиком одновременно. Поэтому два груза постоянно оказывают влияние друг на друга, и собственные частоты определяются по хитрому выражению с рисунка 3б.
Раз есть резонансы, собственные частоты - надо снова рисовать АЧХ. В этот раз для системы с двумя степенями свободы. Рисунок 3в, в общем.
Внимательный читатель может заметить, что на рисунке 3в есть место, где при определённой частоте между первой и второй собственной амплитуда колебаний первого груза равна нулю. То есть как резонанс, но наоборот. Антирезонанс, получается. Попал антигрузик в антимир...
Антирезонанс происходит при определённом сочетании жёсткости пружины и массы второго грузика по отношению к частоте силы, с которой мы толкаем первый из грузиков. Происходит вот какое явление - тот грузик, к которому мы прикладываем силу, НЕ движется, а вот второй - неистово пляшет.
Выходит, в тот момент, когда вы честно и усердно толкаете первый грузик вперёд, он стремится уехать назад, воздействуя на вас абсолютно такой же по величине силой. И наоборот, вы тянете его назад - а он тащит вас вперёд. Как в перетягивании каната равносильными командами – вроде бы на месте стоят, а силы ведь прикладывают, пыхтят.
Но ведь энергию движения-то вы в систему передаёте всё равно. И всю эту энергию через пружину забирает второй грузик. И трясется. За двоих. А первый стоит себе на месте. То есть смысл такой - у нас есть некий объект, подвергающийся воздействию силы постоянной частоты. Мы не хотим, чтобы он колебался, поэтому просто передаём эту энергию куда-то ещё, куда не жалко.
Осознали? А теперь ещё раз обращаю внимание на то, что условие антирезонанса определяется параметрами только второго грузика. Совершенно всё равно, насколько тяжёлый первый груз, какая жёсткость у его пружины. Нас интересует только случай, когда корень из (k2 / m2) равен частоте возмущающей силы. Вот тогда у первого груза случится антирезонанс (рисунок 3в).
В этой ситуации второй грузик товарищи инженеры называют динамическим гасителем колебаний. Причём в жизни это тоже работает! Хотя и не совсем так, как описано выше.
Дело в том, что полная остановка первого груза при непрекращающемся воздействии возможна лишь "на бумаге", ведь в системе есть трение и прочие неидеальности. Поэтому на практике принцип такой - тот объект, который испытывает нагрузку, передаёт часть (не всю) энергии гасителю колебаний, а гаситель специально устроен так, чтобы без проблем пораскачиваться туда-сюда вместо защищаемой конструкции, пока внешняя нагрузка не уйдёт.
На практике это позволяет перенаправлять, например, сейсмическое воздействие на небоскрёбах. Ведь землетрясения - это, внезапно, тряска земли, самые что ни на есть колебания. Наш случай. Берем небоскрёб, вешаем внутрь грузик массой 660 тонн на тросиках – поздравляю, ваш Динамический гаситель колебаний™ готов! Так и поступили, например, строители небоскрёба Тайбэй 101 (иллюстрации прилагаются). К тому же динамический гаситель колебаний нашёл применение в строительстве мостов, буровых платформ, линий электропередач и автомобильной промышленности.
Ещё разок подчеркну, что динамический гаситель колебаний заранее "настроен" на одно определённое внешнее гармоническое воздействие (или близкое к нему). То самое воздействие, частота которого равна корень из (k2 / m2). Один такой девайс не сделает вашу конструкцию неразрушимой.
Таким образом, не всегда обязательно бороться с вредным проявлением колебаний путём их полного устранения. Даже качку небоскрёбов массой многие сотни тонн можно не побеждать, а просто отправить её в другое место - и пусть себе там колеблется, никому не мешает.
Автор: Виктор Ерёменко.