Числовые неравенства
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
На примерах решений заданий № 724, 725 и 729 из учебника по алгебре для 8-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского предлагаю вспомнить использование разности левой и правой частей неравенства для её доказательства.
Задание 724:
Сравните числа a и b, если:
а) a – b = – 0,001; б) a – b = 0; в) a – b = 4,3.
Решение:
В главе IV §10 п. 28 учебника на странице 161 авторы учебника дают определение: число a больше числа b, если разница a – b — положительное число; число a меньше числа b, если разница a – b — отрицательное число; если разница a – b равна нулю, то числа a и b равны.
Исходя из этого определения, если a – b = – 0,001, то a < b, если a – b = 0, то a = b и если a – b = 4,3, то a > b.
Ответ: а) a < b; б) a = b; в) a > b.
Задание 725:
Известно, что a < b. Может ли разность a – b выражаться числом 3,72? – 5? 0?
Решение:
Как уже сказано выше, число a меньше числа b, если разница a – b — отрицательное число.
Из трёх вариантов ответа только число – 5 является отрицательным.
Ответ: a – b = 3,72 — не может, : a – b = – 5 — может, a – b = 0 — не может.
Задание 729:
Докажите неравенство:
Решение:
Как уже сказано выше, число a больше числа b, если разница a – b — положительное число.
Составим разность левой и правой частей уравнения и преобразуем её:
Как уже сказано выше, число a меньше числа b, если разница a – b — отрицательное число.
Составим разность левой и правой частей уравнения и преобразуем её:
Аналогичным образом решаем оставшиеся два примера:
Любое число в квадрате больше нуля или равно нулю (неотрицательное). Число 1 больше нуля. Сумма двух чисел, одно из которых неотрицательное, а другое положительное является положительным числом, поэтому неравенство p(p + 7) > 7p – 1 является верным.
Преобразуем правую часть неравенства, используя формулу квадрата разности двух выражений:
Составим разность левой и правой частей уравнения и преобразуем её: