Полное условие задачи:
На горизонтальной плоскости стоит клин массой M с углом при основании α = 30°. Вдоль наклонной плоскости клина расположена легкая штанга, нижний конец которой укреплен в шарнире, находящемся на горизонтальной плоскости, а к верхнему концу прикреплен маленький шарик массой m, касающийся клина (см. рис.). Систему освобождают, и она начинает движение, во время которого шарик сохраняет контакт с клином. На какой максимальный угол β штанга отклонится от горизонтали после того, как клин отъедет от нее? Трением пренебречь, удар шарика о горизонтальную плоскость считать абсолютно упругим. В ответе укажите синус искомого угла.
Краткое условие задачи:
Решение задачи:
Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Так как работа неконсервативных сил равна нулю. Поскольку сила реакции, действующая со стороны стержня на шарик в любой точке траектории перпендикулярна вектору скорости, а сила реакции опоры, действующая на клин также в любой точке его траектории перпендикулярна вектору скорости, следовательно, работа всех непотенциальных сил, действующих на тела, равна нулю, а значит в инерциальной системе отсчета применим закон сохранения энергии. При абсолютно упругом ударе шарика о горизонтальную поверхность не происходит потерь энергии.
Обозначим длину штанги через l.
Поскольку трения нет, механическая энергия системы сохраняется. В процессе движения до удара шарика о горизонтальную плоскость потенциальная энергия шарика переходит в кинетическую энергию клина и шарика. Обозначим скорость клина в момент, когда шарик ударяется о горизонтальную плоскость, через v, а скорость шарика перед ударом — через u. Тогда закон сохранения энергии можно записать в следующем виде:
Непосредственно перед ударом шарика о горизонтальную плоскость его скорость направлена перпендикулярно этой плоскости, поскольку он находится на конце штанги, другой конец которой укреплен в шарнире, находящемся на этой плоскости. За малый промежуток времени ∆t перед ударом о плоскость шарик проходит по вертикали расстояние u∆t, а клин, не теряя по условию контакта с шариком, проходит по горизонтали расстояние v∆t и эти расстояния связаны, очевидно, соотношением
Откуда
Или
После абсолютно упругого удара шарика о плоскость его скорость изменит направление на противоположное, а по модулю сохранит свое значение. После этого кинетическая энергия шарика по мере подъема штанги будет уменьшаться, переходя в потенциальную энергию, так что при максимальном отклонении штанги от горизонтали на угол β будет выполняться соотношение, следующее из закона сохранения энергии:
Из написанных уравнений имеем
поэтому угол максимального отклонения штанги после удара шарика о плоскость определяется из следующего соотношения:
