Есть такая замечательная тема первого года математического кружка, где множества (сложные и абстрактные) изображаются в виде кругов на плоскости (таких интуитивно понятных) и теоретико-множественные понятия (пересечение и объединение, например) рассматриваются в виде простых геометрических конструкций, наглядно позволяя дойти до не самых очевидных формул.
Называется это всё по традиции кругами Эйлера - в честь всеми нами любимого Леонарда Эйлера, великого российского и немецкого математика швейцарского происхождения, который примерно полжизни (по крайней мере, сознательной) провёл в Санкт-Петербурге, где его очень любят и чтут, как родного. На самом же деле это диаграммы Венна - оказывается, на диаграммах Эйлера обязательно изображать непересекающиеся множества непересекающимися же кругами, а подмножество, соответственно, рисовать внутри большего множества.
Но так мало кто делает, при этом не меняя названия: Эйлер-то свой родной, а вот Джон Венн - басурманский, негоже в честь него ничего называть. К тому же, все эти круги ещё Лейбниц начал рисовать.
Пример задачи
Валера собирает карточки с покемонами, сейчас у него 990 штук. Он выложил их в ряд и заметил, что каждый четвёртый покемон в ряду является огненным, а каждый седьмой умеет летать.
а) Сколько карточек не огненных покемонов в коллекции Валеры?
б) Сколько у Валеры карточек с огненными покемонами, которые не умеют летать?
в) Сколько у Валеры карточек покемонов, которые не являются огненными и не умеют летать?
Понимание, как устроены пересечения множеств, пусть даже без изображения их в виде кругов на плоскости, здесь необходимо (а ещё нужно понимать, что и как тут устроено с округлением (т.е. что означают слова "каждый четвёртый" и "каждый седьмой").
Большинство школьников понимает, что "каждый четвёртый" значит "примерно четверть от общего числа", но некоторые делают вывод, что тогда не огненных - "примерно три четверти", и округляют по-своему. На самом же деле огненных - четверть, округлённая вниз, то есть - неполное частное от деления с остатком 990 (общего количества покемонов) на 4. То есть огненных покемонов у Валеры в коллекции 247, следовательно не огненных - остальные 990 - 247 = 743.
Аналогично, покемонов, умеющих летать, у Валеры в коллекции 141.
Каждый двадцать восьмой покемон одновременно является огненным и умеет летать, поэтому в пересечении 35. Огненных, которые летать не умеют, остаётся 247 - 35 = 212, умеющих летать, но не являющихся огненными: 141 - 35 = 106.
В последнем же пункте нас интересуют те покемоны, которые не попали внутрь кругов, а их 990 - (212 + 141) = 657.
Разумеется, незнакомство с множествами в целом и визуализацией при помощи кругов приводит к огромному количеству как понятных ошибок, так и довольно нелепых. Из понятного - потерять пересечение или же вычесть его дважды. Из не самого очевидного - найти сумму в кругах вместо дополнения.
Кружки - это хорошо и полезно, там учат правильно думать и параллельно рассказывают набор стандартных методов и идей, при помощи которых стандартные околоолимпиадные задачи можно решить легко и непринужденно.
Присоединяйтесь к моему каналу в Telegram, где регулярно публикуются красивые кружковские и олимпиадные задачи разного уровня сложности (от совсем простых, для начальной школы, до весьма сложных, уровня олимпиад старшеклассников, перечневых или даже регионального этапа ВсОШ).
И обязательно поощряйте занятия детей в математических кружках.