Начало:
Предыдущий урок:
Мы уже познакомились с теорией множеств на уроках Математика для чайников. Глава 7. Множества и Математика для чайников. Глава 16. И снова множества, и как они связаны с математическим анализом. Сегодня продолжим эту увлекательную тему, познакомившись с некоторыми интересными парадоксами, которые вытекают из теории множеств. И первый парадокс, который мы рассмотрим, это парадокс брадобрея. Брадобрей – это так называли парикмахеров в старину. И так, сначала я расскажу небольшую историю: Жил бы полковой брадобрей. Однажды командир велел ему брить тех, и только тех, кто не бреется сам. Сначала парикмахер обрадовался, так как почти все солдаты в полку брились сами. Ему предстояло побрить только несколько человек. И вот, когда он закончил работу, то сильно задумался. Он не знал, что ему делать с сами собой. Если он побреет себя, значит, это будет нарушение приказа: он не должен брить тех, кто бреется. Он если он себя брить не будет, то получается, что он не бреется сам. И тогда, согласно приказу, он должен себя побрить. И тут брадобрей возвращается к началу рассуждений. Завис, как говорят айтишники.
«Но при чем тут теория множеств?» – спросите вы. «А при том, – отвечу я, – что те солдаты, которых надо побрить образуют множество».
И так, у нас имеется множество тех, кого надо побрить. Условия принадлежности к этому множеству – человек не бреется сам. Казалось бы, ну и что такого? Чем условия принадлежности хуже, например, если множество задано условием: «все ученик такой-то школы»? Но тут у нас проблема с определением, принадлежит ли к этому множеству сам брадобрей.
Теперь разберем другой вариант данного парадокса. В русском языке есть такие прилагательные, которые называется рефлексивные. Это те прилагательные которые обладают свойством, которое определяют. Например, прилагательное «русский» – рефлексивное (так как оно звучит по-русски), а прилагательное английский – не рефлексивное (оно звучит по-русски, а не по-английски). Другой пример – «трехсложный». Это тоже рефлексивное прилагательное, оно состоит из трех слогов («трех», «слож» и «ный»). А вот прилагательное «четырехсложный» уже не будет рефлексивным. Давайте посчитаем, сколько в нем слогов: «че», «тыр», «ех», «слож» и «ный». Получается пять. Не четыре. Значит, это прилагательное нерефлексивное.
А как насчет определить множество рефлексивных прилагательных. Очевидно, что в него включены такие прилагательные, как «русский» и «трехсложный». Но вот нужно ли в него включать прилагательное «нерефлексивный». С одной стороны, раз написано, что нерефлексивный, значит, нерефлексивный. Но тогда прилагательное определяет само себя, и тогда оно рефлексивное. Но мы не можем считать его рефлексивным, потому что впереди частица «не».
А как насчет того, чтобы не относить прилагательное ни к рефлексивным, ни к нерефлексивным? А нельзя. Почему? Тут действует закон исключение третьего, который открыл еще Аристотель в античные времена. Любой предмет может либо быть чем-то, либо не быть. Третьего не дано.
А теперь перейдем непосредственно к математике. Пусть у нас есть множество
Поясню. Мы включаем в множество M только такие множества, которые принадлежат A (то есть сами себе). Поясню. Множество может содержать другие множества. Например, пусть у нас есть множество C={1,2,3}. Оно содержит элементы 1,2,3. И пусть у нас есть множество D={{1,2},3,4}. Оно содержит множество {1,2} и элементы 2 и 4. Мы так же можем задать множество E={C,{1},{1,2}}. Это как раз множество множеств, в него входит уже заданно множество C={1,2,3}, множество {1}, которое состоит всего из одного элемента и множество {1,2}.
Теперь вернемся к множеству M. По своей сути этот тот самый брадобрей, о котором мы говорили выше. Действительно, если:
То получается, что
Почему? Потому что M – это множество элементов, не принадлежащих M. Значит, множество нельзя включать в это множество. Но если
То у нас автоматически получается
И все повторяется заново.
Создатели теории множества, после того, как стакнулись с подобными парадоксами, пришли к выводу, что нельзя задавать условия принадлежности к множеству произвольным образом. Они придумали правила, как бороться с такими парадоксами.
В частности есть два способа избежать подобных парадоксов.
Способ 1. Правило Кантора (или «наивная теория множеств»). Согласно этому правилу, запрещены все действия, ведущие к парадоксам. Идея состоит в том, что работаем только со множествами, которые встречаются в природе или получающиеся из них путем применения разумных теоретико-множественных операций.
Рассмотрим пример. Пусть у нас есть множество A={множество учащихся школы} и множество B={множество непрерывных функций}. С этими множествами можно сделать различные операции. Например, объединение, пересечение, декартово произведение. Пусть пересечение этих множеств будет пустое множество, но важен сам факт, что такую операцию сделать можно. А что с объединением? Если мы имена всех учащихся напишем на бумажках, и название всех непрерывных функций так же напишем на бумажках, а потом эти бумажки свалим в одну кучу, это у нас и будет объединение множеств. Декартово произведение – это если мы составим множество пар: каждый ученик с каждой функцией. Количество таких пар будет равно произведению количества учеников и функций.
Способ 2. Аксиоматический. Его развивали Цермело и Френкель (система аксиом Цермело и Френкеля), а так же Гёдель и Бернайс (система Гёделя и Бернайса). Согласно данной теории, множество – это нечто, удовлетворяющее системе аксиом. Вот эти аксиомы:
1. Аксиома объемности. Множества определяются своими элементами. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны.
2. Аксиома объединения. Объединение всех элементов множества есть множество.
3. Аксиома выделения. Для каждого множества A и каждого условия ф существует множеств:
– подмножество элементов A, удовлетворяющих условию ф.
Поясню эту аксиому. Мы можем взять только кусочек какого-то реального множества, элементы которого удовлетворяют заданному условию. Например, множество всех домов, находящихся в городе N. Это будет подмножеством, например, всем домов в стране (или даже в мире). Но мы не может взять множество всех летающих крокодилов. Хотя… нет, в принципе, можем, но это будет пустое множество, потому что крокодилы не летают. А вот если мы попробуем взять множество множеств, которые не содержат сами себя, то согласно этой аксиоме, мы этого сделать не можем. Почему? Потому что это множество должно быть подмножеством какого-то большего множества, а подмножеством чего является «множество множеств, которые не содержат сами себя»? При всем желании вы не сможете это вообразить, если только не закинитесь какой-то гадостью (но это я категорически вам не советую).
Отдельно поясню для айтишников. Эта аксиома исключает рекурсию, чтобы избежать стековерфлоу (парадокса).
4. Аксиома степени. Множество всех подмножеств данного множества есть множество.
5. Аксиома подстановки. Пусть X – множество, а ф(y,z) – произвольная формула. Тогда если для каждого y существует и единственен z, такой, что ф(y,z) истинно, то существует множество всех z, для которых найдется
такой, что ф(y,z) истинно.
6. Аксиома фондирования. Не существует бесконечной последовательности вложенных множеств. Иными словами, цепочка:
конечна.
7. Аксиома бесконечности. Существуют бесконечные множества, то есть, такие множества A, что A равномощно
Тут следует пояснить. Скобочки обозначают множество, состоящее из перечисленных в скобочках элементов. В данном случае под {A} понимается множество, элементом которого является множество A.
Математички эта аксиома записывается так:
Кому-то формула может показаться страшной. Расшифровываю. Знак «E перевёрнутая» означает квантор существования, или, говоря простыми словами, его следует читать как «существует …». В данном случае мы читаем эту формулу как «существует x, такой, что существует y, принадлежащий x, при любых z не равных y. Слово «любых» обозначает «A перевернутая», которая называется квантор всеобщности.
Знак «горка» обозначает конъюнкцию, или операцию «логическое «И». В форме ее можно читать просто как «и». Получается «… и для любых y, принадлежащих x).
Но можно не забивать себе голову этими страшными формулами (они так, для справки), а просто запомнить, что существуют бесконечные множества, то есть, множества с бесконечным количеством элементов. Например, множество всех натуральных чисел. Его бесконечность можно проиллюстрировать такой шуткой:
– Назови самое больше число.
– Сто миллиардов квадриллионов.
– Нет. Сто миллиардов квадриллионов плюс 1 больше.
– Квадрильон миллиардов квадриллионов.
– Нет. Квадрильон миллиардов квадриллионов плюс 1 больше. И, какое бы больше число ты не навал, все рано можно сказать, что это число плюс 1 больше.
Кстати, бесконечность – не число, а специальная математическая абстракция, с которой нельзя делать те же математические операции, что и с числами. Например, нельзя сказать, что «бесконечность плюс 1 больше чем бесконечность». Почему? Потому что если к бесконечность добавить 1, то будет … бесконечность.
Подробнее по бесконечности можно почитать тут
8. Аксиома выбора. Для всякого семейства Xнепустых множеств существует функция f, которая каждому множеству из данного семейства сопоставляет один из элементов этого множества. Функция f есть функция выбора для заданного семейства.
Под семейством множество понимаем индексированную систему множество, а под системой множеств понимается множеством множеств, элементы которого схожего происхождения.
Лучше всего аксиому выбора можно проиллюстрировать такой вот взятой из википедия картинкой:
Посмотрите внимательно. Вот у нас 4 множества, из них мы выбираем какой-нибудь элемент, который кладем в пятое множество. Например, из первого берем алмаз, из второго сотовую вышку, из третьего линейку, а из четвертого осьминожку.
В данном рисунке совокупность этих множество не является семейством множеств, так как условие выполнится только для пятого множества. Но если бы такие стрелки можно было бы провести к каждому кружочку, то это было бы семейство множеств.
Вообще, это очень интересная аксиома, в научном мире вокруг нее возникло много споров, так что в будущем мы разберем ее более подробно.
Ну а пока подведем небольшие итоги: в теории множеств существует ряд парадоксом, которые разрешают аксиомы теории множеств.