Широко известен анекдот про то, как физик и математик кипятят воду в чайнике - на самом деле этот анекдот иллюстрирует разницу между подходами физиков и математиков к решению любых задач. Наш гипотетический физик каждый раз свою новую задачу решает "в лоб": есть цель, есть алгоритм - идём по нему. Это специфика физических задач. Математик же должен видеть аналогии между задачами, между понятиями (да и между аналогиями тоже). Поэтому-то вылить воду, выключить газ и свести задачу к предыдущей - норма для математиков.
Эта статья вдохновлена выступлением Лены Ивановой на конференции Смарт Кенгуру, которое можно посмотреть на Ютубе (вместе с остальными докладами на той конференции, включая и мой):
Действительно, именно умение видеть аналогии - одно из важнейших, которому учит детей математический кружок. Именно так мы воспитываем их мышление, учим грамотно рассуждать. Предлагая им абсолютно непохожие словесные формулировки одних и тех же задач, мы стараемся добиться осознания, что не нужно каждый раз заново кипятить чайник - а можно однажды вылить воду и воспользоваться уже накопленным опытом.
Например, смотрите, как видоизменяется до неузнаваемости задача:
Лягушка прыгает по прямой, каждую минуту перемещаясь на 1 метр либо вправо, либо влево. При этом каждую минуту она движется в том же направлении, что и 7 минут назад. Может ли лягушка вернуться в исходную точку через полчаса?
Бизнесмен Никодим каждый день либо зарабатывает миллион долларов, либо теряет миллион долларов, причём каждый день его состояние меняется так же, как и неделю назад. Могло ли состояние Никодима за апрель не измениться?
Разные задачи, казалось бы? А теперь давайте скажем, что увеличение состояния - это прыжок лягушки вправо, а уменьшение - прыжок влево. Ну и минута лягушки равна дню Никодима. И задачи стали одинаковыми (в апреле 30 дней, а в получасе - 30 минут). И если мы решим одну из задач, то вторая будет решена автоматически.
Многие люди (в том числе юные, школьники) не в состоянии увидеть аналогию: они будут пять раз решать задачу по шаблону, но так и не смогут сказать "Это та же самая задача", тем самым сведя новую задачу к предыдущей. Математиками они не станут. Потому что видеть биекцию (взаимно однозначное соответствие) - это врождённое качество. Но если оно есть, то его нужно ещё уметь вытащить на поверхность и научить ребёнка им пользоваться. С этим иногда проблемы.
Более того, если такого ребёнка будут учить люди, сами не умеющие аналогии видеть (и хуже того - не считающие это нужным), то врождённое умение у него спрячется где-то в глубинах сознания и откажется выбираться оттуда.
А это, увы, касается подавляющего большинства учителей математики. Сильные способные дети у таких, как правило, оказываются троечниками и, в силу этого, ни в кружки, ни на олимпиады не попадают ("куда тебе, ты же и так троеШник"). А если и попадают, то редко показывают свою силу - давит школьный статус.
Хотя лично мне кажется, что на базовом уровне замечать аналогию способны вообще все. Если в детстве не закрыть "канал связи с космосом", правильными развивашками занимаясь, на каком-то уровне аналогии видеть сможет любой. Это моё мнение. К 12-13 годам уже формируются ограничивающие убеждения, и многим после этого уже поздно начинать - хотя реальные таланты раскрыть и позже можно. Наверное. Не уверен.
Аналогии - это, конечно, гораздо более сложный уровень, чем просто "вылить воду из чайника", но всё начинается с малого. Увидеть аналогию не всегда легко, но тот, кто развил в себе это умение, справится с задачами любой сложности. И станет хорошим математиком.